【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,DE,BF分別平分∠ADC,∠ABC,并交線段AB,CD于點(diǎn)E,F(點(diǎn)E,B不重合).在線段BF上取點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在BN之間),使BM=2FN.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D勻速運(yùn)動到點(diǎn)E時(shí),點(diǎn)Q恰好從點(diǎn)M勻速運(yùn)動到點(diǎn)N.記QN=x,PD=y,已知,當(dāng)Q為BF中點(diǎn)時(shí),.
(1)判斷DE與BF的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求DE,BF的長;
(3)若AD=6.①當(dāng)DP=DF時(shí),通過計(jì)算比較BE與BQ的大小關(guān)系;②連結(jié)PQ,當(dāng)PQ所在直線經(jīng)過四邊形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí),求所有滿足條件的x的值.
【答案】(1),理由見解析;(2) ;(3)①;②
【解析】
(1)推出∠AED=∠ABF,即可得出DE∥BF;
(2)求出DE=12,MN=10,把代入,解得:x=6,得到NQ=6,得出QM=4,由FQ=QB,BM=2FN,得出FN=2,BM=4,即可得出結(jié)果;
(3)①連接EM并延長交BC于點(diǎn)H,易證四邊形DFME是平行四邊形,得出DF=EM,求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°,∠ADE=∠CDE=∠FME=60°,∠MEB=∠FBE=30°,得出∠EHB=90°,DF=EM=BM=4,MH=2,EH=6,由勾股定理得 ,,當(dāng)DP=DF時(shí) ,求出 ,得到BQ>BE;
②(Ⅰ)當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)D時(shí),y=0,則x=10;
(Ⅱ)當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),由FQ∥DP,得出△CFQ∽△CDP,則,即可求得 ;
(Ⅲ)當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),由PE∥BQ,得出△APE∽△AQB,則 ,根據(jù)勾股定理得 ,則 , ;由圖可知,PQ不可能過點(diǎn)B.
解:(1)DE與BF的位置關(guān)系為:DE∥BF,理由如下:
如圖1所示:
∵∠A=∠C=90°,
∴∠ADC+∠ABC=360°-(∠A+∠C)=180°,
∵DE、BF分別平分∠ADC、∠ABC,
∵∠ADE+∠AED=90°,
∴∠AED=∠ABF,
∴DE∥BF;
(2)令x=0,得y=12,
∴DE=12,
令y=0,得x=10,
∴MN=10,
把代入,
解得:x=6,即NQ=6,
∴QM=10-6=4,
∵Q是BF中點(diǎn),
∴FQ=QB,
∵BM=2FN,
∴FN+6=4+2FN,
解得:FN=2,
∴BM=4,
∴BF=FN+MN+MB=16;
(3)①連接EM并延長交BC于點(diǎn)H,如圖2所示:
∵FM=2+10=12=DE,DE∥BF,
∴四邊形DFME是平行四邊形,
∴DF=EM,
∵AD=6,DE=12,∠A=90°,
∴∠DEA=30°,
∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°,
∴∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°,
∴∠DFM=∠DEM=120°,
∴∠MEB=180°-120°-30°=30°,
∴∠MEB=∠FBE=30°,
∴∠EHB=180°-30°-30°-30°=90°,DF=EM=BM=4,
,
∴EH=4+2=6,
由勾股定理得: ,
∴ ,
當(dāng)DP=DF時(shí), ,
解得: ,
,
,
BQ>BE;
②(Ⅰ)當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)D時(shí),如圖3所示:
y=0,則x=10;
(Ⅱ)當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),如圖4所示:
∵BF=16,∠FCB=90°,∠CBF=30°,
,
CD=8+4=12,
∵FQ∥DP,
∴△CFQ∽△CDP,
∴ ,
∴ ,
解得: ;
(Ⅲ)當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),如圖5所示:
∵PE∥BQ,
∴△APE∽△AQB,
∴ ,
根據(jù)勾股定理得: ,
∴ ,
,
解得: ;
由圖可知,PQ不可能過點(diǎn)B;
綜上所述,當(dāng)x=10或或時(shí),PQ所在的直線經(jīng)過四邊形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAD和∠BCD的平分線AE,CF分別交DC,BA的延長線于點(diǎn)E,F,交邊BC,AD于點(diǎn)H,G.
(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形.
(2)若AB=5,BC=8,求AF+AG的值.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=4,將∠A向內(nèi)翻析,點(diǎn)A落在BC上,記為A1,折痕為DE.若將∠B沿EA1向內(nèi)翻折,點(diǎn)B恰好落在DE上,記為B1,則AB=_____.
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【題目】如圖,拋物線與軸交于兩點(diǎn),是以點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上的動點(diǎn),是線段的中點(diǎn),連結(jié).則線段的最大值是________.
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【題目】如圖,在河對岸有一矩形場地ABCD,為了估測場地大小,在筆直的河岸l上依次取點(diǎn)E,F,N,使AE⊥l,BF⊥l,點(diǎn)N,A,B在同一直線上.在F點(diǎn)觀測A點(diǎn)后,沿FN方向走到M點(diǎn),觀測C點(diǎn)發(fā)現(xiàn)∠1=∠2.測得EF=15米,FM=2米,MN=8米,∠ANE=45°,則場地的邊AB為_______米,BC為_______米.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上,∠MDN=45°.
(1)如圖1,DN交AB的延長線于點(diǎn)F. 求證:;
(2)如圖2,過點(diǎn)M作MP⊥DB于P,過N作NQ⊥BD于,若,求對角線BD的長;
(3)如圖3,若對角線AC交DM,DF分別于點(diǎn)T,E.判斷△DTN的形狀并說明理由.
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【題目】如圖,把一塊長為40cm,寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同小正方形,然后把紙板的四邊沿虛線折起,并用膠帶粘好,即可做成一個(gè)無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底面積為600cm2,設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm,則可列方程為( 。
A.(30﹣2x)(40﹣x)=600B.(30﹣x)(40﹣x)=600
C.(30﹣x)(40﹣2x)=600D.(30﹣2x)(40﹣2x)=600
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)y1=x2+bx+a,y2=ax2+bx+1(a,b是實(shí)數(shù),a≠0).
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(2)若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(r,0),其中r≠0,求證:函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點(diǎn)(,0).
(3)設(shè)函數(shù)y1和函數(shù)y2的最小值分別為m和n,若m+n=0,求m,n的值.
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【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,PA、PB是⊙O的切線,切點(diǎn)分別是點(diǎn)A、B
(1)如圖1,若∠BAC=25°,求∠P的度數(shù).
(2)如圖2,若M是劣弧AB上一點(diǎn),∠AMB=∠AOB,求∠P的度數(shù).
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