Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2CE，將矩形沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′，D′，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)B，C′，D′恰好在同一直線上時(shí)，AF的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】8+或8﹣．

【解析】分析: 由折疊的性質(zhì)得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE，在Rt△BC′E中，由＝2，得到∠C′BE＝30°，①當(dāng)點(diǎn)C′在BC的上方時(shí)，過(guò)E作EG⊥AD于G，延長(zhǎng)EC′交AD于H，則四邊形ABEG是矩形根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，即可得到AF的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)C′在BC的下方時(shí)，過(guò)F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得四邊形ABGF是矩形根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，即可得到AF的長(zhǎng)．

詳解: 由折疊的性質(zhì)得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE，

∵點(diǎn)B、C′、D′在同一直線上，

∴∠BC′E＝90°，

∵BC＝12，BE＝2CE，

∴BE＝8，C′E＝CE＝4，

在Rt△BC′E中，＝2，

∴∠C′BE＝30°，

①當(dāng)點(diǎn)C′在BC的上方時(shí)，

如圖1，過(guò)E作EG⊥AD于G，延長(zhǎng)EC′交AD于H，則四邊形ABEG是矩形，

∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，

∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，

∴∠BEC′＝60°，

由折疊的性質(zhì)得，∠C′EF＝′CEF，

∴∠C′EF＝∠CEF＝60°，

∵AD∥BC

∴∠HFE＝∠CEF＝60°，

∴△EFH是等邊三角形，

∴在Rt△EFG中，EG＝6，

∴GF＝2，

∴AF═8＋2；

②當(dāng)點(diǎn)C′在BC的下方時(shí)，

如圖2，過(guò)F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，

同①可得，四邊形ABGF是矩形，△EFH是等邊三角形，

∴AF＝BG，F(xiàn)G＝AB＝6，∠FEH＝60°，

在Rt△EFG中，GE＝2，

∵BE＝8，

∴BG＝82，

∴AF＝82，

綜上所述，AF的長(zhǎng)是8＋2或82．

故答案為：8＋2或82．

點(diǎn)睛: 本題考查了翻折變換折疊問(wèn)題，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．