Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足 ，（n∈N+）． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè) ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn ， 求證： ．

Answer 1

【答案】解：（I）數(shù)列{an}滿(mǎn)足 ，（n∈N+）． ∴n≥2時(shí)，a1+3a2+…+3n﹣2an﹣1= ，相減可得：3n﹣1an= ，∴an= ．
n=1時(shí)，a1= ．
綜上可得：an= ．
（II）證明： ，
∴b1= = ．
n≥2時(shí)，bn= = ．
∴Sn= + + +…+
= + ＜
【解析】（I）數(shù)列{an}滿(mǎn)足 ，（n∈N+）．n≥2時(shí)，a1+3a2+…+3n﹣2an﹣1= ，相減可得：3n﹣1an= ，可得an ． n=1時(shí)，a1= ．（II） ，b1= ．n≥2時(shí)，bn= = ．利用裂項(xiàng)求和方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．