Question

【題目】△ABC中，點(diǎn)O是AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，若MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠DCA的平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF．

⑴說(shuō)明：OE＝OF

⑵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形，證明你的結(jié)論

⑶在⑵的條件下，當(dāng)⊿ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF為正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，證明見(jiàn)解析；（3）△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用平行線的特殊性質(zhì)，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及角平分線的性質(zhì)，等量代換，最后求出；

（2）先證明平行四邊形，再證明對(duì)角線相等，推出四邊形為矩形；

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形.

（1）∵M(jìn)N∥BC，

∴，，

又已知CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，

∴，，

∴，，

∴，，

∴

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，，

又∵，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵，

∴，

∴，即，

∴四邊形AECF是矩形;

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．

∵由（2）知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，

已知MN∥BC，當(dāng)，則

，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是正方形.