Question

【題目】如圖，在中，，是的中點，是的中點，過點作交的延長線于點，連接.

（1）寫出四邊形的形狀，并證明：

（2）若四邊形的面積為12，，求.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）由“AAS”可證△AEF≌△DEC，可得AF=CD，由直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD=CD，由菱形的判定是可證ADBF是菱形．
（2）由題意可得S△ABC=S四邊形ADBF=12，可得AC的長，由勾股定理可求BC的長．

解：解：（1）四邊形ADBF是菱形，
理由如下：∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
∵AF∥BC
∴∠AFE=∠DCE，且∠AEF=∠CED，AE=DE
∴△AEF≌△DEC（AAS）
∴AF=CD，
∵點D是BC的中點
∴BD=DC
∴AF=BD，且AF∥CD
∴四邊形ADBF是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中點，
∴AD=BD，
∴平行四邊形ADBF是菱形
（2）∵四邊形ADBF的面積為12，
∴S△ABD=6
∵D是BC的中點
∴S△ABC=12=×AB×AC
∴12=×4×AC
∴AC=6，
∴BC=.