Question

已知拋物線過點（8，0），
（1）求m的值；
（2）如圖a，在拋物線內作矩形ABCD，使點C、D落在拋物線上，點A、B落在x軸上，設矩形ABCD的周長為L，求L的最大值；
（3）如圖b，拋物線的頂點為E，對稱軸與直線y=-x+1交于點F．將直線EF向右平移n個單位后（n＞0），交直線y=-x+1于點M，交拋物線于點N，若以E、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線過點（8，0），直接代入求出m即可；
（2）利用配方法求出二次函數(shù)的頂點坐標，進而得出A點坐標，以及D點坐標，再利用二次函數(shù)的最值求出即可；
（3）根據①當四邊形EFNM是平行四邊形以及②當四邊形EFMN是平行四邊形分別求出即可．
解答：解：（1）
∵拋物線過點（8，0），
∴0=-×64+8m，
∴m=4，

（2）拋物線=，
設A點橫坐標為m，則AB=8-2m，D（m，），
∴矩形ABCD的周長=2（AD+AB）=2（8-2m）=-（m-2）²+20，
∵a=-1＜0，∴當m=2，矩形ABCD的周長的最大值為20，

（3）直線EF向右平移n個單位（n＞0）使得E、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
直線MN的解析式為x=4+n，直線MN與直線y=-x+1交于點M（4+n，-n-3），
又∵E（4，8），F(xiàn)（4，-3），
∴E通過向下平移11個單位得到F．
∵E、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴四邊形FEMN是平行四邊形或四邊形EFNM是平行四邊形．
①當四邊形EFNM是平行四邊形，∴M向下平移11個單位得N，
∴N坐標為（4+n，-n-14），
又N在拋物線上，
∴n²-2n-44=0，
解得，（不合題意，舍去）    
②當四邊形EFMN是平行四邊形，∴M向上平移11個單位得N，
∴N坐標為（4+n，-n+8），
又N在拋物線上，
∴n²-2n=0，
解得n₁=2，n₂=0（不合題意，舍去），
∴n的值為2，．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及平行四邊形的性質和點的坐標性質，利用分類討論得出n的不同值是解題關鍵．