Question

如圖，已知拋物線過點A（0，6），B（2，0），C（7，

5

2

）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若D是拋物線的頂點，E是拋物線的對稱軸與直線AC的交點，F(xiàn)與E關(guān)于D對稱，求證：∠CFE=∠AFE；
（3）在y軸上是否存在這樣的點P，使△AFP與△FDC相似？若有請求出所有符和條件的點P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C三點坐標(biāo)代入，列方程組求拋物線解析式；
（2）求直線AC的解析式，確定E點坐標(biāo)，根據(jù)對稱性求F點坐標(biāo)，分別求直線AF，CF的解析式，確定兩直線與x軸的交點坐標(biāo)，判斷兩個交點關(guān)于拋物線對稱軸對稱即可；
（3）存在．由∠CFE=∠AFE=∠FAP，△AFP與△FDC相似時，頂點A與頂點F對應(yīng)，根據(jù)△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，兩種情況求P點坐標(biāo)．

解答：（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C三點坐標(biāo)代入，得

c=6 4a+2b+c=0 49a+7b+c= 5 2

，
解得

a= 1 2 b=-4 c=6

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-4x+6；

（2）證明：設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=mx+n，
將A、C兩點坐標(biāo)代入，得

n=6 7m+n= 5 2

，
解得

m=- 1 2 n=6

，
∴y=-

1

2

x+6，
∵y=

1

2

x²-4x+6=

1

2

（x-4）²-2，
∴D（4，-2），E（4，4），
∵F與E關(guān)于D對稱，
∴F（4，-8），則直線AF的解析式為y=-

7

2

x+6，CF的解析式為y=

7

2

x-22，
∴直線AF，CF與x軸的交點坐標(biāo)分別為（

12

7

，0），（

44

7

，0），
∵4-

12

7

=

44

7

-4，
∴兩個交點關(guān)于拋物線對稱軸x=4對稱，
∴∠CFE=∠AFE；

（3）解：存在．
設(shè)P（0，d），則AP=|6-d|，AF=

42+(6+8)2

=2

53

，
FD=-2-（-8）=6，CF=

(7-4)2+( 5 2 +8)2

=

3 53

2

，
∵∠PAF=∠CFD，
∴點P位于點A的下方，
當(dāng)△AFP∽△FDC時，

AP

AF

=

FC

FD

，即

6-d

2 53

=

3 53 2

6

，解得d=-

41

2

，
當(dāng)△AFP∽△FCD時，

AP

AF

=

FD

FC

，即

6-d

2 53

=

6

3 53 2

，解得d=-2，
∴P點坐標(biāo)為（0，-

41

2

）或（0，-2）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，相似三角形的知識解題．