Question

如圖，已知拋物線過點(diǎn)A（0，6），B（2，0），C（6，0），直線AB交拋物線的對稱軸于點(diǎn)F，直線AC交拋物線對稱軸于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)D對稱；
（3）在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△AFP與△FDC相似？若有，請求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）（x-6），把點(diǎn)A坐標(biāo)代入求解得到a的值，即可得到函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)拋物線解析式確定出對稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB、AC的解析式，然后求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，即可得證；
（3）根據(jù)點(diǎn)A、B、C、D、F的坐標(biāo)求出AF、FD、FC的長度，再利用正切函數(shù)確定出∠BAO=∠CFD，然后利用兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似分兩種情況列出比例式求出AP的長度，再求出OP的長度，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線過點(diǎn)B（2，0），C（6，0），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）（x-6），
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，6），
∴a（0-2）（0-6）=6，
解得a=

1

2

，
所以，拋物線解析式為y=

1

2

（x-2）（x-6），
即y=

1

2

x²-4x+6；

（2）證明：∵y=

1

2

x²-4x+6=

1

2

（x²-8x+16）-2=

1

2

（x-4）²-2，
∴拋物線對稱軸為直線x=4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（4，-2），
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
則

b=6 6k+b=0

，
解得

k=-1 b=6

，
所以，直線AC的解析式為y=-x+6，
當(dāng)x=4時(shí)，y=-4+6=2，
所以，點(diǎn)E（4，2），
所以，DE=2-（-2）=4，
設(shè)直線AB解析式為y=ex+f，
則

f=6 2e+f=0

，
解得

e=-3 f=6

，
所以，直線AB的解析式為y=-3x+6，
當(dāng)x=4時(shí)，y=-3×4+6=-6，
所以，點(diǎn)F（4，-6），
所以，DF=-2-（-6）=4，
所以，DE=DF，
故，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)D對稱；

（3）解：∵A（0，6），B（2，0），C（6，0），D（4，-2），F(xiàn)（4，-6），
∴AF=

(6+6)2+42

=4

10

，F(xiàn)D=-2-（-6）=4，F(xiàn)C=

62+(6-4)2

=2

10

，
∵tan∠BAO=

OB

OA

=

2

6

=

1

3

，tan∠CFD=

6-4

6

=

1

3

，
∴∠BAO=∠CFD，
①當(dāng)AP與FD是對應(yīng)邊時(shí)，∵△AFP∽△FCD，
∴

AP

FD

=

AF

FC

，
即

AP

4

=

4 10

2 10

，
解得AP=8，
所以，OP=8-6=2，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2）；
②當(dāng)AP與FC是對應(yīng)邊時(shí)，∵△AFP∽△FDC，
∴

AP

FC

=

AF

FD

，
即

AP

2 10

=

4 10

4

，
解得AP=20，
所以，OP=20-6=14，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-14），
綜上所述，存在點(diǎn)P（0，-2），（0，-14），使△AFP與△FDC相似．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式，直線解析式），兩點(diǎn)間的距離公式，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（1）用交點(diǎn)式解析式求解比較簡單，（3）先利用銳角的正切值相等判斷出∠BAO=∠CFD是解題的關(guān)鍵．