【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們定義直線為拋物線為常數(shù),)的夢(mèng)想直線;有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,另一個(gè)頂點(diǎn)在軸上的三角形為其夢(mèng)想三角形

已知拋物線與其夢(mèng)想直線交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)

(1)填空:該拋物線的夢(mèng)想直線的解析式為 ,點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)的坐標(biāo)為 ;

(2)如圖,點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn),將所在直線為對(duì)稱軸翻折,點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,若為該拋物線的夢(mèng)想三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)當(dāng)點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),在該拋物線的夢(mèng)想直線上,是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1,(﹣2,,(1,0);(2(0,﹣3)或(0,+3)3存在,E(﹣1,﹣)、F(0,)或E(﹣1,﹣)、F(﹣4,.

【解析】

試題分析:(1)由夢(mèng)想直線的定義可求得其解析式,聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可求得A、B的坐標(biāo);

(2)過A作ADy軸于點(diǎn)D,則可知AN=AC,結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo),則可求得ON的長(zhǎng),可求得N點(diǎn)坐標(biāo);

(3)當(dāng)AC為平行四邊形的一邊時(shí),過F作對(duì)稱軸的垂線FH,過A作AKx軸于點(diǎn)K,可證EFH≌△ACK,可求得DF的長(zhǎng),則可求得F點(diǎn)的橫坐標(biāo),從而可求得F點(diǎn)坐標(biāo),由HE的長(zhǎng)可求得E點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),設(shè)E(﹣1,t),由A、C的坐標(biāo)可表示出AC中點(diǎn),從而可表示出F點(diǎn)的坐標(biāo),代入直線AB的解析式可求得t的值,可求得E、F的坐標(biāo).

試題解析:(1)拋物線,

其夢(mèng)想直線的解析式為,

聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得,解得,

A(﹣2,),B(1,0),

故答案為:(﹣2,,(1,0);

(2)如圖1,過A作ADy軸于點(diǎn)D,

中,令y=0可求得x=﹣3或x=1,

C(﹣3,0),且A(﹣2,),

,

由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=

∵△AMN為夢(mèng)想三角形,N點(diǎn)在y軸上,且AD=2,

在RtAND中,由勾股定理可得DN=,

OD=,ON=﹣3或ON=+3,

N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣3)或(0,+3);

(3)當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí),如圖2,過F作對(duì)稱軸的垂線FH,過A作AKx軸于點(diǎn)K,

則有ACEF且AC=EF,

∴∠ACK=EFH,

ACK和EFH中

∴△ACK≌△EFH(AAS),FH=CK=1,HE=AK=

拋物線對(duì)稱軸為x=﹣1,F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或﹣2,

點(diǎn)F在直線AB上,

當(dāng)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為0時(shí),則F(0,),此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方,

E到y(tǒng)軸的距離為EH﹣OF==,即E點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣,

E(﹣1,﹣);

當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2時(shí),則F與A重合,不合題意,舍去;

當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),

C(﹣3,0),且A(﹣2,),

線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2.5,),

設(shè)E(﹣1,t),F(xiàn)(x,y),

則x﹣1=2×(﹣2.5),y+t=

x=﹣4,y=﹣t,

代入直線AB解析式可得﹣t=﹣×(﹣4)+,解得t=﹣

E(﹣1,﹣),F(xiàn)(﹣4,);

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F,此時(shí)E(﹣1,﹣)、F(0,)或E(﹣1,﹣)、F(﹣4,).

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