Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交BC于點D，過點D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）如果AB=5，BC=6，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：相切，理由如下：

連接AD，OD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

∴CD=BD= BC．

∵OA=OB，

∴OD∥AC．

∴∠ODE=∠CED．

∵DE⊥AC，

∴∠ODE=∠CED=90°．

∴OD⊥DE．

∴DE與⊙O相切．

（2）解：由（1）知∠ADC=90°，

∴在Rt△ADC中，由勾股定理得

AD= =4．

∵SACD= ADCD= ACDE，

∴ ×4×3= ×5DE．

∴DE=

【解析】（1）連接AD，OD，根據已知條件證得OD⊥DE即可；（2）根據勾股定理計算即可．
【考點精析】利用等腰三角形的性質和直線與圓的三種位置關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．