Question

【題目】如圖，已知AM∥BN，∠A=60°．點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，D．

（1）求∠CBD的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí)，直接寫出∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）不變化，∠APB=2∠ADB ，理由詳見解析；（3）∠ABC=30°

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)即可求得∠APB=2∠ADB（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解.

解：（1）∵AM∥BN，

∴∠A+∠ABN=180°，　

∵∠A=60°

∴∠ABN=120°

∵BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP=∠ABP, ∠DBP=∠NBP,

∴∠CBD=∠CBP +∠DBP=∠ABN=60°

（2）不變化，∠APB=2∠ADB，理由：

∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN

∠ADB=∠DBN

又∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN =2∠DBN

∴∠APB=2∠ADB

（3）在△ABC中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°，

在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，

∵∠ACB=∠ABD,∴∠ABC=∠ADB

∵AD∥BN，∠A=60°，

∴∠ABN=120°，∠ADB=∠DBN=∠ABC，

由（1）知∠CBD=60°，

∴∠ABC=(∠ABN-∠CBD)=30°