【題目】在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的動點(diǎn)(不與A,B重合),過M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N.以MN為直徑作⊙O,并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN.令A(yù)M=x.

(1)用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S;
(2)當(dāng)x為何值時,⊙O與直線BC相切;
(3)在動點(diǎn)M的運(yùn)動過程中,記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y,試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求x為何值時,y的值最大,最大值是多少?

【答案】
(1)解:∵M(jìn)N∥BC,

∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.

∴△AMN∽△ABC.

,即 ;

∴AN= x;

∴S=SMNP=SAMN= xx= x2.(0<x<4)


(2)解:如圖2,設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D,連接AO,OD,則AO=OD= MN.

在Rt△ABC中,BC= =5;

由(1)知△AMN∽△ABC,

,即

∴MN= x

∴OD= x,

過M點(diǎn)作MQ⊥BC于Q,則MQ=OD= x,

在Rt△BMQ與Rt△BCA中,∠B是公共角,

∴△BMQ∽△BCA,

,

∴BM= x,AB=BM+MA= x+x=4

∴x=

∴當(dāng)x= 時,⊙O與直線BC相切;


(3)解:隨點(diǎn)M的運(yùn)動,當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時,連接AP,則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn).

∵M(jìn)N∥BC,

∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APB,

∴△AMO∽△ABP,

,

∵AM=MB=2,

故以下分兩種情況討論:

①當(dāng)0<x≤2時,y=SPMN= x2

∴當(dāng)x=2時,y最大= ×4= ,

②當(dāng)2<x<4時,設(shè)PM,PN分別交BC于E,F(xiàn),

∵四邊形AMPN是矩形,

∴PN∥AM,PN=AM=x,

又∵M(jìn)N∥BC,

∴四邊形MBFN是平行四邊形;

∴FN=BM=4﹣x,

∴PF=x﹣(4﹣x)=2x﹣4,

又∵△PEF∽△ACB,

,

∴SPEF= (x﹣2)2

y=SMNP﹣SPEF= x2 (x﹣2)2=﹣ x2+6x﹣6,

當(dāng)2<x<4時,y=﹣ x2+6x﹣6=﹣ (x﹣ 2+2,

∴當(dāng)x= 時,滿足2<x<4,y最大=2.

綜上所述,當(dāng)x= 時,y值最大,最大值是2.


【解析】(1)由MN∥BC,得到△AMN∽△ABC,得到比例,求出S=SMNP=SAMN的代數(shù)式;(2)當(dāng)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D時,根據(jù)勾股定理在Rt△ABC中,求出BC的值,由(1)知△AMN∽△ABC,得到比例,在Rt△BMQ與Rt△BCA中,∠B是公共角,得到∴△BMQ∽△BCA,得到比例,求出x的值;(3)由MN∥BC,得到△AMO∽△ABP,得到比例,由△MNP與梯形BCNM重合的面積為y,討論得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,求出y的最大值;此題是綜合題,難度較大,計(jì)算和解方程時需認(rèn)真仔細(xì).
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方).

練習(xí)冊系列答案
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(1)求證:無論m取何值,原方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
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①SODB=SOCA;
②四邊形OAMB的面積為2﹣a;
③當(dāng)a=1時,點(diǎn)A是MC的中點(diǎn);
④若S四邊形OAMB=SODB+SOCA , 則四邊形OCMD為正方形.
其中正確的是 . (把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上)

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