【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,m)和點(diǎn)B(n,0)分別在y軸和x軸的正半軸上,滿足,連接線段AB,點(diǎn)C為AB上一動點(diǎn).
(1)填空:m=_____,n=_____;
(2)如圖,連接OC并延長至點(diǎn)D,使得DC=OC,連接AD.若△AOC的面積為2,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖,BC=OB,∠ABO的平分線交線段AO于點(diǎn)E,交線段OC于點(diǎn)F,連接EC.
求證:①△ACE為等腰直角三角形;
②BF-EF=OC.
【答案】(1)4,4;(2)D(2,6);(3)①見解析;②見解析.
【解析】
(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于m、n的方程組,解方程組即可求出m、n的值;
(2)過點(diǎn)C作CG⊥y軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M,如圖,由題意易得△AOB和△ACG均為等腰直角三角形,由△AOC的面積為2可求得AG的長,進(jìn)而可求出OG的長,再利用三角形的中位線可得DM和OM的長,即得點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)①先利用SAS證明△OBE≌△CBE,可得∠BCE=∠BOA=90°,再根據(jù)∠OAB =45°和三角形的內(nèi)角和求出∠AEC的度數(shù),進(jìn)一步即可證得結(jié)論;
②過點(diǎn)A作AH⊥OC交OC的延長線于點(diǎn)H,如圖,根據(jù)AAS可證明△ACH≌△CEF,從而得EF=CH,同理可證△AOH≌△OBF,得OH=BF,問題即得解決.
解:(1)∵,∴,解得.
故答案為4,4;
(2)由(1)得,A(0,4)、B(4,0),∴OA=OB=4,∵∠BOA=90°,∴∠OAB=∠OBA=45°,
過點(diǎn)C作CG⊥y軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M,如圖,
則CG∥DM,∠ACG=45°,∴AG=CG,
∵△AOC的面積為2,∴,解得:CG=1,
∴AG=1,∴OG=3,
∵C是OD的中點(diǎn),CG∥DM,
∴DM=2CG=2,OM=2OG=6,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,6);
(3)①證明:∵BE平分∠ABO,∴∠OBE=∠CBE,
又∵OB=CB,BE=BE,
∴△OBE≌△CBE(SAS),∴∠BCE=∠BOA=90°,即∠ACE=90°,
∵∠OAB =45°,∴∠AEC=45°,
∴ ∠AEC=∠CAE,∴CA=CE,
∴△ACE為等腰直角三角形;
②過點(diǎn)A作AH⊥OC交OC的延長線于點(diǎn)H,如圖,
∵BC=BO,BE平分∠ABO,∴BF⊥OC,
∴∠AHC=∠CFE=90°,
∵∠CAH+∠ACH=90°,∠ECF+∠ACH=90°,
∴∠CAH=∠ECF,又∵AC=CE,
∴△ACH≌△CEF(AAS),∴EF=CH,
同理可證:△AOH≌△OBF(AAS),
∴OH=BF,
∴OC+EF=BF,即BF-EF=OC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某汽車專賣店經(jīng)銷某種型號的汽車.已知該型號汽車的進(jìn)價(jià)為15萬元/輛,經(jīng)銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn):當(dāng)該型號汽車售價(jià)定為25萬元/輛時(shí),平均每周售出8輛;售價(jià)每降低0.5萬元,平均每周多售出1輛.
(1)當(dāng)售價(jià)為22萬元/輛時(shí),求平均每周的銷售利潤.
(2)若該店計(jì)劃平均每周的銷售利潤是90萬元,為了盡快減少庫存,求每輛汽車的售價(jià).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】菱形ABCD的邊長是4,∠ABC=120°,點(diǎn)M、N分別在邊AD、AB上,且MN⊥AC,垂足為P,把△AMN沿MN折疊得到△AˊMN,若△AˊDC恰為等腰三角形,則AP的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的直角邊AC在x軸上,∠ACB=90°,AC=1,反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象經(jīng)過BC邊的中點(diǎn)D(3,1).
(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若△ABC與△EFG成中心對稱,且△EFG的邊FG在y軸的正半軸上,點(diǎn)E在這個(gè)函數(shù)的圖象上.
①求OF的長;
②連接AF,BE,證明四邊形ABEF是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)開挖兩段河渠,所挖河渠的長度y(m)與挖掘時(shí)間x(h)之間的關(guān)系如圖所示.根據(jù)圖象所提供的信息有:①甲隊(duì)挖掘30m時(shí),用了3h;②挖掘6h時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了10m;③乙隊(duì)的挖掘速度總是小于甲隊(duì);④開挖后甲、乙兩隊(duì)所挖河渠長度相等時(shí),x=4.其中一定正確的有( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲種污水處理器處理25噸的污水與乙種污水處理器處理35噸的污水所用的時(shí)間相同,已知乙種污水處理器每小時(shí)比甲種污水處理器多處理20噸的污水.
(1)分別求甲、乙兩種污水處理器的污水處理效率;
(2)若某廠每天同時(shí)開甲、乙兩種污水處理器處理污水共4小時(shí),且甲、乙兩種污水處理器處理污水每噸需要的費(fèi)用分別30元和50元,問該廠每個(gè)月(以30天計(jì))需要污水處理費(fèi)多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線的對稱軸是x=-4,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且A,C的坐標(biāo)分別是(-2,0),(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上有一點(diǎn)是P,滿足∠PBC=90,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)y軸上是否存在點(diǎn)E使得△AOE與△PBC相似?若存在求出點(diǎn)E的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平分,且.
(1)在圖1中,當(dāng)時(shí),求證:;
(2)在圖2中,當(dāng)時(shí),求證:.
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