直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,在腰AB上有一動(dòng)點(diǎn)P.
(1)連接DP、CP,使得△PAD與△PBC相似,求出此時(shí)AP的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)則滿足上述條件的P共有______個(gè);
(3)在直線AB上存在一點(diǎn)M,使得△DMC周長(zhǎng)最小,直接寫出AM的長(zhǎng),并求出△DMC的周長(zhǎng).

【答案】分析:(1)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分情況討論得出AP的長(zhǎng).
(2)由(1)得出滿足上述條件的P共有6個(gè);
(3)由(1)得出AM的長(zhǎng),根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出△DMC最小的周長(zhǎng).
解答:解:(1)分兩種情況:
①如果△PAD∽△PBC,
則PA:PB=AD:BC=2:3,
又PA+PB=AB=7,
∴AP=7×2÷5=2.8;
②如果△PAD∽△CBP,
則PA:BC=AD:BP,
即PA•PB=2×3=6,
又∵PA+PB=AB=7,
∴PA、PB是一元二次方程x2-7x+6=0的兩根,
解得x1=1,x2=6,
∴AP=1或6.
綜上,可知AP=2.8或1或6.

(2)若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)則滿足上述條件的P共有6個(gè);

(3)延長(zhǎng)CB到C′,使C′B=CB,連接DC′,交AB于點(diǎn)M.
此時(shí)△DMC周長(zhǎng)最小,AM=2.8.
在△ADM中,∠A=90°,AD=2,AM=2.8,∴DM=
在△BCM中,∠B=90°,BC=3,BM=4.2,∴CM=
CD==5
故△DMC的周長(zhǎng)=DM+CM+CD=+5
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),同時(shí)考查了軸對(duì)稱-最短路線問題,難度較大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)在直角梯形ABCD中,底AD=6cm,BC=11cm,腰CD=12cm,則這個(gè)直角梯形的周長(zhǎng)為
 
cm.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=1,BC=8,AB=6,點(diǎn)P在高AB上滑動(dòng),當(dāng)AP長(zhǎng)為
 
時(shí),△DAP與△PBC相似.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠B=90°,E是AB的中點(diǎn),連接DE、CE,AD+BC=CD,以精英家教網(wǎng)下結(jié)論:
(1)∠CED=90°;
(2)DE平分∠ADC;
(3)以AB為直徑的圓與CD相切;
(4)以CD為直徑的圓與AB相切;
(5)△CDE的面積等于梯形ABCD面積的一半.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( 。
A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,對(duì)角線AC⊥BD,垂足為F,過點(diǎn)F作精英家教網(wǎng)EF∥AB,交AD于點(diǎn)E,CF=4cm.
(1)求證:四邊形ABFE是等腰梯形;
(2)求AE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

7、在直角梯形ABCD中,底AD=6,BC=11,腰CD=13,則周長(zhǎng)=
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