【題目】我們知道,任意一個正整數n都可以進行這樣的分解:n=p×q(p,q是正整數,且p≤q),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數之差的絕對值最小,我們就稱p×q是n的最佳分解.并規(guī)定:F(n)= .例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因為12﹣1>6﹣2>4﹣3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)= .
(1)若F(a)=且a為100以內的正整數,則a=________;
(2)如果m是一個兩位數,那么試問F(m)是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大(或最小)值以及此時m的取值并簡要說明理由.
【答案】(1)6,24,54,96;(2)當m為最大的兩位數質數97時,F(m)存在最小值,最小值為.
【解析】試題分析:
(1)由題意可知且,由此可得,即a=6或24或54或96;
(2)由F(m)=且可知,F(m)的最大值為1,此時,則m是一個完全平方數,找出兩位數中的所有完全平方數即可得到m的值;由F(m)=且可知,當m是兩位數中的最大質數時,F(m)的值最小,找到兩位數中的最大質數即可得到答案.
試題解析:
(1)∵,F(a)=,
∴,
∴ a=6或24或54或96;
(2)F(m)存在最大值和最小值.
①∵F(m)=且,
∴F(m)的最大值為1,此時,
∴當m是一個完全平方數時,F(m)有最大值1,
又∵m是兩位數,
∴當m=16或25或36或49或64或81時,F(m)有最大值1;
②當m為質數時,p=1,q=m,此時由題意可知F(m)=,
∴當m為兩位數中的最大質數97時,F(m)最小,
此時F(m)=F(97)=.
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【題目】小軒從如圖所示的二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象中,觀察得出了下面五條信息:
①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a﹣2b+4c>0;⑤.
你認為其中正確信息的個數有
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
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【題目】如圖1,反比例函數的圖象經過點A(,1),射線AB與反比例函數圖象交與另一點B(1, ),射線AC與軸交于點C, 軸,垂足為D.
(1)求和a的值;
(2)直線AC的解析式;
(3)如圖2,M是線段AC上方反比例函數圖象上一動點,過M作直線軸,與AC相交于N,連接CM,求面積的最大值.
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【題目】某學校為了增強學生體質,決定開設以下體育課外活動項目:A:籃球 B:乒乓球C:羽毛球 D:足球,為了解學生最喜歡哪一種活動項目,隨機抽取了部分學生進行調查,并將調查結果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請回答下列問題:
(1)這次被調查的學生共有 人;
(2)請你將條形統(tǒng)計圖(2)補充完整;
(3)在平時的乒乓球項目訓練中,甲、乙、丙、丁四人表現優(yōu)秀,現決定從這四名同學中任選兩名參加乒乓球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學的概率(用樹狀圖或列表法解答)
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【題目】學農期間我們完成了每日一題,進一步研究了角的平分線. 工人師傅常用角尺平分一個任意角. 作法如下:
如圖,∠AOB 是一個任意角,在邊 OA、OB 上分別取 OM=ON, 移動角尺,使角尺兩邊相同的刻度分別與 M、N 重合. 過角尺頂點 C 的射線 OC 便是∠AOB 的平分線. 我們發(fā)現利用 SSS 證明兩個三角形全等,從而證明∠AOC=∠BOC.
學習了軸對稱的知識后,我們知道角是軸對稱圖形,角平分線 所在直線就是它的對稱軸,愛動腦筋的小慧同學利用軸對稱圖形的性質發(fā)現了一種畫角平分線的方法.
方法如下:如圖 1,將兩個全等的三角形紙片△DEF 和△MNL 的一組對應邊分別與∠AOB 的一邊共線,同時這條邊所對頂點落在∠AOB 的另一條邊上,則△DEF 和△MNL 的另一組對應邊的交點 P 在∠AOB 的平分線上.
(1)小慧的做法正確嗎?說明理由:
小旭說:利用軸對稱的性質,我只用刻度尺就可以畫角平分線.(提示:刻度尺可以度量出相等的線段)
(2)請你和小旭一樣,只用刻度尺畫出圖 2 中∠QRS 的角平分線.(保留作圖痕跡,不寫作法)
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【題目】如圖,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=CB,F是AB邊上的中點,點D、E分別在AC、BC邊上運動,且始終保持AD=CE.連接DE、DF、EF.
(1)求證:△ADF≌△CEF;
(2)試證明△DFE是等腰直角三角形.
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【題目】如圖1,AB=AC,EF=EG,△ABC≌△EFG,AD⊥BC于點D,EH⊥FG于點H
(1) 直接寫出AD、EH的數量關系:___________________
(2) 將△EFG沿EH剪開,讓點E和點C重合
① 按圖2放置△EHG,將線段CD沿EH平移至HN,連接AN、GN,求證:AN⊥GN
② 按圖3放置△EHG,B、C(E)、H三點共線,連接AG交EH于點M.若BD=1,AD=3,求CM的長度
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【題目】如圖,在矩形ABCO中,AO=3,tan∠ACB=,以O為坐標原點,OC為軸,OA為軸建立平面直角坐標系。設D,E分別是線段AC,OC上的動點,它們同時出發(fā),點D以每秒3個單位的速度從點A向點C運動,點E以每秒1個單位的速度從點C向點O運動,設運動時間為秒。
(1)求直線AC的解析式;
(2)用含的代數式表示點D的坐標;
(3)當為何值時,△ODE為直角三角形?
(4)在什么條件下,以Rt△ODE的三個頂點能確定一條對稱軸平行于軸的拋物線?并請選擇一種情況,求出所確定拋物線的解析式.
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