Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且始終保持AD＝CE．連接DE、DF、EF．

（1）求證：△ADF≌△CEF；

（2）試證明△DFE是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）等腰直角三角形，證明過程見解析．

【解析】

試題（1）根據在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用F是AB中點，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，即可證明：△ADF≌△CEF．

（2）利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90°即可證明△DFE是等腰直角三角形．

試題解析：（1）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

又∵F是AB中點，

∴∠ACF=∠FCB=45°，

即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，

在△ADF與△CEF中，

，

∴△ADF≌△CEF；

（2）由（1）可知△ADF≌△CEF，

∴DF=FE，

∴△DFE是等腰三角形，

又∵∠AFD=∠CFE，

∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，

∴∠AFC=∠DFE，

∵∠AFC=90°，

∴∠DFE=90°，

∴△DFE是等腰直角三角形．