Question

【題目】學(xué)農(nóng)期間我們完成了每日一題，進(jìn)一步研究了角的平分線. 工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角. 作法如下：

如圖，∠AOB 是一個(gè)任意角，在邊 OA、OB 上分別取 OM=ON， 移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與 M、N 重合. 過角尺頂點(diǎn) C 的射線 OC 便是∠AOB 的平分線. 我們發(fā)現(xiàn)利用 SSS 證明兩個(gè)三角形全等，從而證明∠AOC=∠BOC.

學(xué)習(xí)了軸對稱的知識后，我們知道角是軸對稱圖形，角平分線 所在直線就是它的對稱軸，愛動(dòng)腦筋的小慧同學(xué)利用軸對稱圖形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)了一種畫角平分線的方法.

方法如下：如圖 1，將兩個(gè)全等的三角形紙片△DEF 和△MNL 的一組對應(yīng)邊分別與∠AOB 的一邊共線，同時(shí)這條邊所對頂點(diǎn)落在∠AOB 的另一條邊上，則△DEF 和△MNL 的另一組對應(yīng)邊的交點(diǎn) P 在∠AOB 的平分線上.

（1）小慧的做法正確嗎？說明理由：

小旭說：利用軸對稱的性質(zhì)，我只用刻度尺就可以畫角平分線.（提示：刻度尺可以度量出相等的線段）

（2）請你和小旭一樣，只用刻度尺畫出圖 2 中∠QRS 的角平分線.（保留作圖痕跡，不寫作法）

Answer 1

【答案】（1）正確，證明見解析（2）圖見解析.

【解析】

（1）說法正確，可通過用AAS證明三角形OED與三角形OME全等得到ON=OE，OD=OM，∠ODE=∠ONM，再根據(jù)DO-ON=OM-OE，得到DN=ME，再根據(jù)AAS證明三角形NKD與三角形EKM全等，得到NK=EK,再根據(jù)SAS證明三角形ONK與三角形OEK全等，從而得到對應(yīng)角∠NOK=∠EOK，即可證明角平分線.

（2）根據(jù)（1）可知，作三角形RAD與三角形RBC全等，過R點(diǎn)作與BC與AD的交點(diǎn)的射線即為角平分線.

（1）正確.理由如下

∵

∴∠DEF=∠MNL，DE=NM

∴180°-∠DEF=180°-∠MNL

即∠OED=∠ONM

在三角形OED與三角形ONM中

∴(AAS)

∴ON=OE，OD=OM，∠ODE=∠OMN

∴DO-ON=OM-OE

即DN=ME

在三角形NKD與三角形EKM中

∴ (AAS)

∴NK=EK

在三角形ONK與三角形OEK中

∴(SAS)

∴∠NOK=∠EOK

即OK為∠LOF 的角平分線.

（2）

如圖量RA=RA，RQ=RC，連接AD=BC.

則在三角形RAD與三角形RBC中

∴（SAS）

∴∠RDA=∠RCB

在三角形BDK與三角形ACK中

∴（AAS）

∴BK=AK

在三角形RBK與三角形RAK中

∴(SSS)

∴∠BRK=∠ARK

故RK為角平分線.