【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,點Q在AB上,且AQ=2,過Q做QR⊥AB,垂足為Q,QR交折線AC﹣CB于R(如圖1),當點Q以每秒2個單位向終點B移動時,點P同時從A出發(fā),以每秒6個單位的速度沿AB﹣BC﹣CA移動,設(shè)移動時間為t秒(如圖2).
(1)求△BCQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式.
(2)t為何值時,QP∥AC?
(3)t為何值時,直線QR經(jīng)過點P?
(4)當點P在AB上運動時,以PQ為邊在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部,求此時t的取值范圍.
【答案】(1)S△BCQ=﹣t+(0≤t≤8);(2)時,QP∥AC;
(3)當t=0.5s或2.5s時直線QR經(jīng)過點P;
(4)且t≠0.5時正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部.
【解析】
試題分析:(1)過C作CD垂直于AB于D點,由AB及AQ的長,利用AB﹣AQ表示出QB的長,直角三角形ABC的面積有兩種求法,兩直角邊乘積的一半,或斜邊乘以斜邊上的高的一半,兩種求法表示的面積相等可得出CD的長,三角形BQC以QB為底邊,CD為高,利用三角形的面積公式即可求出;
(2)當PQ∥AC時,利用兩直線平行得到兩對同位角相等,由兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△BPQ∽△BCA,由相似得比例,將各自的值代入列出關(guān)于t的方程,求出方程的解得到t的值;
(3)分三種情況討論即可:①當Q、P均在AB上時,可得出AP=6t,AQ=2+2t,令A(yù)P=AQ列出關(guān)于t的方程,求出方程的解得到此時t的值;②當P在BC上時,如圖所示,由一對直角相等及一對公共角相等,利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形BPQ與三角形ABC相似,由相似得比例,將各自的值代入列出關(guān)于t的方程,求出方程的解得到此時t的值;③當P在AC上不存在QR經(jīng)過點P,綜上,得到所有滿足題意的t的值;
(4)抓住兩種臨界情況:當點P在點Q的左側(cè)時,若點N落在AC上,則PQ=2+2t﹣6t=2﹣4t,由△APN∽△ACB得,求出此時的t值;當點P在點Q的右側(cè)時,若點N落在BC上,則由△BPN∽△BCA得,進而求出此時的t值,綜上兩種情況,可得出以PQ為邊在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部時t的取值范圍.
試題解析:(1)過C作CD⊥AB于D點,如圖所示:
∵AB=10,AQ=2+2t,
∴QB=AB﹣AQ=10﹣(2+2t)=8﹣2t,
在Rt△ABC中,AB=10,AC=8,
根據(jù)勾股定理得:BC=6,
∵AC×BCAB×CD,即×6×8=×10×CD,
∴CD=,
則S△BCQ=QBCD=(8﹣2t)=﹣t+(0≤t≤8);
(2)當PQ∥AC時,可得∠BPQ=∠C,∠BQP=∠A,
∴△BPQ∽△BCA,又BQ=8﹣2t,BP=6t﹣10,
∴,即,
整理得:6(8﹣2t)=10(6t﹣10),
解得:,
則時,QP∥AC;
(3)①當Q、P均在AB上時,AP=6t,AQ=2+2t,
可得:AP=AQ,即6t=2+2t,
解得:t=0.5s;
②當P在BC上時,P與R重合,如圖所示:
∵∠PQB=∠ACB=90°,∠B=∠B,
∴△BPQ∽△BAC,
∴,又BP=6t﹣10,AB=10,BQ=8﹣2t,BC=6,
∴,即6(6t﹣10)=10(8﹣2t),
解得:t=2.5s;
③當P在AC上不存在QR經(jīng)過點P,
綜上,當t=0.5s或2.5s時直線QR經(jīng)過點P;
(4)當點P在點Q的左側(cè)時,若點N落在AC上,如圖所示:
∵AP=6t,AQ=2+2t,
∴PQ=AQ﹣AP=2+2t﹣6t=2﹣4t,
∵四邊形PQMN是正方形,
∴PN=PQ=2﹣4t,
∵∠APN=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△APN∽△ACB,
∴,即,
解得:,
當點P在點Q的右側(cè)時,若點N落在BC上,如圖所示:
由題意得:BP=10﹣6t,PN=PQ=4t﹣2,
∵∠BPN=∠BCA=90°,∠B=∠B,
∴△BPN∽△BCA,
∴,即,
整理得:8(10﹣6t)=6(4t﹣2),
解得:,
∵t=0.5時點P與點Q重合,
∴且t≠0.5時正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部.
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