Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=3，CF=1，P是斜邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PEF周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．

Answer 1

如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD，CD，則AC垂直平分BD，
又∵AB=BC，
∴BD平分AC，且AC=BD，
∴四邊形ABCD是正方形．
取AD的中點(diǎn)E′，連接E′F，與AC交于點(diǎn)P．
∵E，E′關(guān)于AC對(duì)稱，
∴PE=PE′，
此時(shí)PF+PE=PF+PE′=E′F，值最小．
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于G．
在Rt△E′FG中，∠E′GF=90°，F(xiàn)G=AB=6，GE′=3-1=2，
∴E′F=

FG2+GE′2

=

62+22

=2

10

，
∵EF=

BE2+BF2

=

32+52

=

34

，
∴△PEF周長(zhǎng)的最小值=EF+E'F=

34

+2

10

．
故答案為

34

+2

10

．