【題目】如圖(1),直線x軸于點A,交軸于點C0,4),拋物線過點A,交y軸于點B0,-2.P為拋物線上一個動點,過點Px軸的垂線PD,過點BBDPD于點D,連接PB,設點P的橫坐標為.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當△BDP為等腰直角三角形時,求線段PD的長;

(3)如圖(2),將△BDP繞點B 逆時針旋轉,得到△BD′P′,當旋轉角∠PBP′=∠OAC,且點P的對應點P′落在坐標軸上時,請直接寫出點P的坐標.

【答案】(1)拋物線的解析式為.(2).(3)滿足條件的點P的坐標為( )、(, )或().

【解析】(1)先確定出點A的坐標,再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;

(2)由△BDP為等腰直角三角形,判斷出BD=PD,建立m的方程計算出m,從而求出PD;(3)分點P′落在x軸和y軸兩種情況計算即可.

解:(1)∵點C(0,4)在直線y=﹣x+n上,

∴n=4,∴y=﹣x+4,

令y=0,∴x=3,∴A(3,0),

∵拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點A,交y軸于點B(0,﹣2).

∴c=﹣2,6+3b﹣2=0,

∴b=﹣

∴拋物線解析式為y=x2x﹣2,

(2)點P為拋物線上一個動點,設點P的橫坐標為m.

∴P(m, m2m﹣2),

∴BD=|m|,PD=|m2m﹣2+2|=|m2m|,

∵△BDP為等腰直角三角形,且PD⊥BD,

∴BD=PD,

∴|m|=|m2m|,

∴m=0(舍),m=,m=

∴PD=或PD=;

(3)∵∠PBP'=∠OAC,OA=3,OC=4,

∴AC=5,

∴sin∠PBP'=,cos∠PBP'=,

①當點P'落在x軸上時,過點D'作D'N⊥x軸,垂足為N,交BD于點M,

∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP',

如圖1,

ND'﹣MD'=2,

m2m)﹣(﹣m)=2,

∴m=(舍),或m=﹣,

如圖2,

ND'+MD'=2,

m2m)+m=2,

∴m=,或m=﹣(舍),

∴P(﹣, )或P(, ),

②當點P'落在y軸上時,如圖3,

過點D′作D′M⊥x軸,交BD于M,過P′作P′N⊥y軸,

∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′,

∵P′N=BM,

m2m)=m,

∴m=,

∴P(, ).

∴P(﹣ )或P(, )或P(, ).

“點睛”此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,銳角三角函數(shù),等腰直角三角形的性質,解本題的關鍵是構造直角三角形.

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