【題目】如圖,是邊長為的等邊三角形,邊在射線上,且,點從點出發(fā),沿OM的方向以1cm/s的速度運動,當(dāng)D不與點A重合時,將繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到,連接DE.
(1)如圖1,求證:是等邊三角形;
(2)如圖2,當(dāng)6<t<10時,DE是否存在最小值?若存在,求出DE的最小值;若不存在,請說明理由.
(3)當(dāng)點D在射線OM上運動時,是否存在以D,E,B為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)存在,2+4;(3)當(dāng)t=2或14s時,以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.
【解析】
試題
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合△ABC是等邊三角形可得∠DCB=60°,CD=CE,從而可得△CDE是等邊三角形;
(2)由(1)可知△CDE是等邊三角形,由此可得DE=CD,因此當(dāng)CD⊥AB時,CD最短,則DE最短,結(jié)合△ABC是等邊三角形,AC=4即可求得此時DE=CD=;
(3)由題意需分0≤t<6,6<t<10和t>10三種情況討論,①當(dāng)0≤t<6時,由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,由此可知:此時若△DBE是直角三角形,則∠BED=90°;②當(dāng)6<t<10s時,由性質(zhì)的性質(zhì)可知∠DBE=120°>90°,由此可知:此時△DBE不可能是直角三角形;③當(dāng)t>10s時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE=60°,結(jié)合∠CDE=60°可得∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC>60°,由此可得∠BED<60°,由此可知此時若△BDE是直角三角形,則只能是∠BDE=90°;這樣結(jié)合已知條件即可分情況求出對應(yīng)的t的值了.
試題解析:
(1)∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等邊三角形;
(2)存在,當(dāng)6<t<10時,
由(1)知,△CDE是等邊三角形,
∴DE=CD,
由垂線段最短可知,當(dāng)CD⊥AB時,CD最小,
此時∠ADC=90°,又∵∠ACD=60°,
∴∠ACD=30°,
∴ AD=AC=2,
∴ CD=,
∴ DE=2(cm);
(3)存在,理由如下:
①當(dāng)0s≤t<6s時,由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,
∴此時若△DBE是直角三角形,則∠BED=90°,
由(1)可知,△CDE是等邊三角形,
∴∠DEC=60°,
∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°,
∴∠CDA=∠CEB=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠ACD=∠ADC=30°,
∴DA=CA=4,
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,
∴t=2÷1=2(s);
②當(dāng)6s<t<10s時,由性質(zhì)的性質(zhì)可知∠DBE=120°>90°,
∴此時△DBE不可能是直角三角形;
③當(dāng)t>10s時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE=60°,
又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,
而∠BDC>0°,
∴∠BDE>60°,
∴只能∠BDE=90°,
從而∠BCD=30°,
∴BD=BC=4,
∴OD=14cm,
∴t=14÷1=14(s);
綜上所述:當(dāng)t=2s或14s時,以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知京潤生物制品廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過800噸,生產(chǎn)該產(chǎn)品每噸所需相關(guān)費為10萬元,且生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完.產(chǎn)品每噸售價y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示
(1)當(dāng)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少噸時,當(dāng)年可獲得7500萬元毛利潤?(毛利潤=銷售額﹣相關(guān)費用)
(2)當(dāng)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少噸時,該廠能獲得當(dāng)年銷售的是大毛利潤?最大毛利潤多少萬元.
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【題目】(1) 已知拋物線的圖象經(jīng)過點(-2,-1),其對稱軸為x=-1.求拋物線的解析式.
(2) 如圖,在△ABC中,AB=AC,點D,E分別是BC,AB邊上的點,且∠ADE=∠C.
求證:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某賓館有若干間住房,住宿記錄提供了如下信息:
(1)4月17日全部住滿,一天住宿費收入為12000元;
(2)4月18日有20間房空著,一天住宿費收入為9600元;
(3)該賓館每間房每天收費標(biāo)準(zhǔn)相同.
①一個分式方程,求解該賓館共有多少間住房,每間住房每天收費多少元?
②通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),每間住房每天的定價每增加10元,就會有5個房間空閑;已知該賓館空閑房間每天每間支出費用10元,有顧客居住房間每天每間支出費用20元,問房價定為多少元時,該賓館一天的利潤為11000元?(利潤=住宿費收入﹣支出費用)
③在(2)的計算基礎(chǔ)上,你能發(fā)現(xiàn)房價定為多少元時,該賓館一天的利潤最大?請直接寫出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一張矩形紙片中,,,點,分別在, 上,將紙片沿直線折疊,點落在上的一點處,點落在點處,有以下四個結(jié)論:
①四邊形是菱形;②平分;③線段的取值范圍為;④當(dāng)點與點重合時,.
以上結(jié)論中,你認(rèn)為正確的有( 。﹤.
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的一條弦,且CD⊥AB于點E,連接AD,BC,CO
(1)當(dāng)∠BCO=25°時,求∠A的度數(shù);
(2)若CD=4,BE=4,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在中,∠B和∠C的平分線分別交直線AD于點E、點F,AB=5,若EF>4時,則AD的取值范圍是____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的頂點均落在格點上.
(1)將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后,得到△A1B1C1.在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1;
(2)求線段OA在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積;(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B兩地相距240千米,甲、兩車沿同一線路從A地出發(fā)到B地,分別以一定的速度勻速行駛,甲先出發(fā)40分鐘,乙車才出發(fā),途中乙車發(fā)生故障,修車耗時20分鐘,隨后乙車車速比發(fā)生故障前減少了a千米/小時(仍保持勻速行駛),甲、乙兩車同時到達(dá)B地,甲、乙兩車相距的路程y(千米)與甲車行駛時間x(小時)之間的關(guān)系如圖所示,則a的值為____.
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