【題目】我們知道,如圖1,AB是⊙O的弦,點F是的中點,過點F作EF⊥AB于點E,易得點E是AB的中點,即AE=EB.⊙O上一點C(AC>BC),則折線ACB稱為⊙O的一條“折弦”.
(1)當(dāng)點C在弦AB的上方時(如圖2),過點F作EF⊥AC于點E,求證:點E是“折弦ACB”的中點,即AE=EC+CB.
(2)當(dāng)點C在弦AB的下方時(如圖3),其他條件不變,則上述結(jié)論是否仍然成立?若成立說明理由;若不成立,那么AE、EC、CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出,不必證明.
(3)如圖4,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,Rt△ABC的外接圓⊙O的半徑為2,過⊙O上一點P作PH⊥AC于點H,交AB于點M,當(dāng)∠PAB=45°時,求AH的長.
【答案】(1)見解析;(2)結(jié)論AE=EC+CB不成立,新結(jié)論為:CE=BC+AE,見解析;(3)AH的長為﹣1或+1.
【解析】
(1)在AC上截取AG=BC,連接FA,FG,FB,FC,證明△FAG≌△FBC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=FC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG=EC,即可證明.
(2)在CA上截取CG=CB,連接FA,FB,FC,證明△FCG≌△FCB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=FB,得到FA=FG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE=GE,即可證明.
(3)分點P在弦AB上方和點P在弦AB下方兩種情況進行討論.
解:(1)如圖2,
在AC上截取AG=BC,連接FA,FG,FB,FC,
∵點F是的中點,FA=FB,
在△FAG和△FBC中,
∴△FAG≌△FBC(SAS),
∴FG=FC,
∵FE⊥AC,
∴EG=EC,
∴AE=AG+EG=BC+CE;
(2)結(jié)論AE=EC+CB不成立,新結(jié)論為:CE=BC+AE,
理由:如圖3,
在CA上截取CG=CB,連接FA,FB,FC,
∵點F是的中點,
∴FA=FB,,
∴∠FCG=∠FCB,
在△FCG和△FCB中,
∴△FCG≌△FCB(SAS),
∴FG=FB,
∴FA=FG,
∵FE⊥AC,
∴AE=GE,
∴CE=CG+GE=BC+AE;
(3)在Rt△ABC中,AB=2OA=4,∠BAC=30°,
∴
當(dāng)點P在弦AB上方時,如圖4,
在CA上截取CG=CB,連接PA,PB,PG,
∵∠ACB=90°,
∴AB為⊙O的直徑,
∴∠APB=90°,
∵∠PAB=45°,
∴∠PBA=45°=∠PAB,
∴PA=PB,∠PCG=∠PCB,
在△PCG和△PCB中,
∴△PCG≌△PCB(SAS),
∴PG=PB,
∴PA=PG,
∵PH⊥AC,
∴AH=GH,
∴AC=AH+GH+CG=2AH+BC,
∴
∴ 當(dāng)點P在弦AB下方時,如圖5,
在AC上截取AG=BC,連接PA,PB,PC,PG
∵∠ACB=90°,
∴AB為⊙O的直徑,
∴∠APB=90°,
∵∠PAB=45°,
∴∠PBA=45°=∠PAB,
∴PA=PB,
在△PAG和△PBC中,
∴△PAG≌△PBC(SAS),
∴PG=PC,
∵PH⊥AC,
∴CH=GH,
∴AC=AG+GH+CH=BC+2CH,
∴
∴
∴
即:當(dāng)∠PAB=45°時,AH的長為 或
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【題目】如圖,高高的路燈掛在學(xué)校操場旁邊上方,高傲而明亮.王剛同學(xué)拿起一根長的竹竿去測量路燈的高度,他走到路燈旁的一個地方,點豎起竹竿(表示),這時他量了一下竹竿的影長正好是,他沿著影子的方向走,向遠(yuǎn)處走出兩個竹竿的長度(即)到點,他又豎起竹竿(表示),這時竹竿的影長正好是一根竹竿的長度(即),此時,王剛同學(xué)抬頭若有所思地說道:“噢,原來路燈有高呀”.你覺得王剛同學(xué)的判斷對嗎?若對,請給出解答,若不對,請說明理由.
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【題目】如圖,自卸車車廂的一個側(cè)面是矩形ABCD,AB=3米,BC=0.5米,車廂底部距離地面1.2米.卸貨時,車廂傾斜的角度θ=60°,問此時車廂的最高點A距離地面多少米?(精確到1m)
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【題目】如圖,正方形A1ABC的邊長為1,正方形A2A1B1C1邊長為2.正方形A3A2B2C2邊長為4,…依此規(guī)律繼續(xù)做正方形An+1AnBnn,其中點A,A1,A2,A3,…在同一條直線上,連接AC1交A1B1于點D1,連接A1C2交A2B2于點D2,…,若記△AA1D1的面積為S1,△A1A2D2的面積為S2…,△An﹣1AnDn的面積為Sn,則S2019=_____.
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【題目】如圖1,在正方形ABCD中,E是邊BC上的點,將線段DE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF,過點C作CG∥EF交BA(或其延長線)于點G,連接DF,FG.
(1)FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .
(2)如圖2,若點E是CB延長線上的點,其它條件不變.
①(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請作出判斷,并給予證明;
②DE,DF分別交BG于點M,N,若BC=2BE,求.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點A在點(2,0)和(3,0)之間,對稱軸是x=1.對于下列說法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m為實數(shù));⑤當(dāng)﹣1<x<3時,y>0,其中正確的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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【題目】如圖,小華在體育館的看臺P處進行觀測,測得另一看臺觀眾A處的俯角為15°,觀眾B處的俯角為60°,已知觀眾A、B所在看臺的坡度i(即tan∠ABC)為1:,點P、H、B、C、A在同一個平面上,點H、B、C在同一條直線上,且PH⊥HC,PH=15米.
(1)AB所在看臺坡角∠ABC=____度;
(2)求A、B兩點間的距離.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):≈1.73)
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【題目】如圖,△ABB1,△A1B1B2,…,△An﹣2Bn﹣2Bn﹣1,△An﹣1Bn﹣1Bn是n個全等的等腰三角形,其中AB=2,BB1=1,底邊BB1,B1B2,…,Bn﹣2Bn﹣1,Bn﹣1Bn在同一條直線上,連接ABn交An﹣2Bn﹣1于點P,則PBn﹣1的值為__.
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【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,點E在AB上,點F在CD上,以EF為折痕,將此矩形折疊,使點A和點C重合,點D和點G重合.
(1)求證:四邊形AECF是菱形.
(2)若AB=5,AD=3,則菱形AECF的面積等于_____.
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