Question

【題目】如圖，已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于C、D兩點(diǎn)，與y=交于A（m，2）、B（﹣2，n）兩點(diǎn)．

（1）求m+n的值；

（2）連接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1．

①當(dāng)不等式k1x+b＞時(shí)，請(qǐng)結(jié)合圖象求x的取值范圍；

②設(shè)點(diǎn)E在y軸上，且滿足∠AEO+∠AOD=45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)m+n=0;(2) ①x＞1或﹣2＜x＜0；②（0，5）或（0，﹣1）．

【解析】

（1）利用點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)上，代入反比例函數(shù)解析式中即可得出結(jié)論；
（2）①先表示出tan∠AOD和tan∠BOC，進(jìn)而用tan∠AOD+tan∠BOC=1，建立方程借助m+n=0，求出m，n即可得出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，最后利用圖象即可得出結(jié)論；
②分兩種情況，
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)E在AM上方時(shí)，先求出AO==，再判斷出△AOM∽△E1ON，即可求出m的值．最后利用勾股定理求出OE1即可得出結(jié)論；

Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)E在AM下方時(shí)，利用對(duì)稱性即可得出結(jié)論.

解：∵點(diǎn)A（m，2），B（﹣2，n）在反比例函數(shù)y=，

∴k2=2m，k2=﹣2n，

∴2m+2n=0，

∴m+n=0；

（2）①如圖1，過點(diǎn)A作AM⊥y軸于M，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，

在Rt△AOM中，tan∠AOM==，

在Rt△BOF中，tan∠BOF===﹣，

∵tan∠AOD+tan∠BOC=1，

∴+（﹣）=1，

∴m﹣n=2，

∵m+n=0，

∴m=1，n=﹣1，

∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），

∵k1x+b＞，

∴y1＞y2，

∴當(dāng)x＞1或﹣2＜x＜0時(shí)，k1x+b＞；

②如圖2，Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)E在AM上方時(shí)，過點(diǎn)E1作E1N⊥OA交OA的延長線于N，

由題意知，∠E1AN=45°，

∴∠E1AN=∠AE1N=45°，

∴E1N=AN，

在Rt△OAM中，AM=1，OM=2，

∴AO==，

設(shè)E1N=AN=m，

∴ON=OA+AN=+m，

∵∠AOM=∠E1ON，∠AMO=∠E1NO，

∴△AOM∽△E1ON，

∴，

∴，

∴m=，由勾股定理得，E1A=，E1M=3，

∴OE1=5，

∴E1（0，5）；

Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)E在AM下方時(shí)，由對(duì)稱性得，E2M=E1M=3，

∴OE2=1，

∴E2（0，﹣1），

綜合可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，5）或（0，﹣1）．