【題目】如圖,在RtABC中,∠C=90°,點(diǎn)DAB上一點(diǎn),以AD為直徑作⊙OACE,與BC相切于點(diǎn)F,連接AF

1)求證:∠BAF=CAF;

2)若AC=6BC=8,求BDCE的長(zhǎng);

3)在(2)的條件下,若AFDE交于H,求FHFA的值.(直接寫(xiě)出結(jié)果即可)

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2);(3)

【解析】

1)連結(jié)OF,如圖,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得OFBC,則易得OFAC,所以∠OFA=CAF,加上∠OAF=OFA,則∠BAF=CAF;
2)設(shè)⊙O的半徑為r,OFDE交于點(diǎn)P,如圖,在RtABC中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=10,再證明△BOF∽△BAC,利用相似比計(jì)算出r=,則BD=BA-AD=;接著根據(jù)圓周角定理由AD為⊙O的直徑得到∠AED=90°,易得DEBC,根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可計(jì)算出CE=
3)根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理,由OFAC,,則可計(jì)算出CF=3,再在RtACF中,利用勾股定理計(jì)算出AF=3,然后利用HECF得到,可計(jì)算出FH=,最后計(jì)算FHFA的值.

解答:(1)證明:連結(jié)OF,如圖,
∵⊙OBC相切于點(diǎn)F
OFBC,
∵∠ACB=90°,
OFAC
∴∠OFA=CAF,
OA=OF
∴∠OAF=OFA,
∴∠BAF=CAF


2)解:設(shè)⊙O的半徑為r,OFDE交于點(diǎn)P,如圖,
RtABC中,∵AC=6,BC=8
AB==10,
OFAC
∴△BOF∽△BAC,
=,即

=,解得r=,
BD=BA-AD=10-2×=
AD為⊙O的直徑,
∴∠AED=90°,
而∠C=90°,
DEBC,
=,即

=,
CE=;
3)解:∵OFAC,
=,即=,解得CF=3,
RtACF中,AF==3,
HECF,
=,即=,
FH=
FHFA=3=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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