Question

【題目】如圖，點(diǎn)C是⊙O直徑AB上一點(diǎn)，過(guò)C作CD⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，連接DA，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)P，連接DP，使∠PDA＝∠ADC．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）若AC＝3，tan∠PDC＝，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BC=12.

【解析】

（1）求出∠ODA+∠PDA=∠ADC+∠DAO=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）求出∠PDC=∠DOC，解直角三角形求出=，設(shè)DC=4x，OC=3x，求出3x+3=5x，求出x，即可得出答案．

（1）證明：連接OD

∵OD=OA

∴∠ODA=∠OAD

∵CD⊥AB于點(diǎn)C

∴∠OAD+∠ADC=90°

∴∠ODA+∠ADC= 90°

∵∠PDA=∠ADC

∴∠PDA+∠ODA=90°

即∠PDO=90°

∴PD⊥OD

∵D在⊙O上

∴PD是⊙O的切線

（2）解：∵∠PDO=90°

∴∠PDC+∠CDO=90°

∵CD⊥AB于點(diǎn)C

∴∠DOC+∠CDO=90°

∴∠PDC=∠DOC

=

設(shè)DC = 4x，CO = 3x，則OD=5x

∵AC=3

∴OA=3x+3

∴3x+3=5x

∴x=

∴OC=3x=， OD=OB=5x=

∴BC=12