【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,過點(diǎn)D作AC的垂線,與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.
(1)求證:EF與⊙O相切;
(2)若AB=6,AD=4 ,求EF的長(zhǎng).
【答案】
(1)
證明:連接OD,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠EAD.
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD.
∴∠ODA=∠EAD.
∴OD∥AE.
∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上,
∴EF與⊙O相切.
(2)
證明:連接BD,作DG⊥AB于G,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∵AB=6,AD=4 ,
∴BD= =2,
∵OD=OB=3,
設(shè)OG=x,則BG=3﹣x,
∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2,即32﹣x2=22﹣(3﹣x)2,
解得x= ,
∴OG= ,
∴DG= = ,
∵AD平分∠CAB,AE⊥DE,DG⊥AB,
∴DE=DG= ,
∴AE= = ,
∵OD∥AE,
∴△ODF∽△AEF,
∴ ,即 ,
∴ ,
∴EF= .
【解析】(1)連接OD,由題可知,E已經(jīng)是圓上一點(diǎn),欲證CD為切線,只需證明∠ODF=90°即可.(2)連接BD,作DG⊥AB于G,根據(jù)勾股定理求出BD,進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得DG,根據(jù)角平分線性質(zhì)求得DE=DG= ,然后根據(jù)△ODF∽△AEF,得出比例式,即可求得EF的長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解方程組與證明
(1)解方程組: .
(2)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,將Rt△ABC向下翻折,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,折痕為DE.求證:DE∥BC.
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【題目】“校園安全”受到全社會(huì)的廣泛關(guān)注,東營市某中學(xué)對(duì)部分學(xué)生就校園安全知識(shí)的了解程度,采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了如圖兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該中學(xué)共有學(xué)生900人,請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該中學(xué)學(xué)生中對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
(4)若從對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到了“了解”程度的3個(gè)女生和2個(gè)男生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AD=1,BC=2.連接BD,把△ABD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EBF,若點(diǎn)F剛好落在DA的延長(zhǎng)線上,則∠C=°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,若∠BOD=88°,則∠BCD的度數(shù)是( 。
A.88°
B.92°
C.106°
D.136°
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【題目】計(jì)算:
(1)sin30°+3tan60°﹣cos245°.
(2)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=75°,D在AC上,DC=6,∠DBC=60°,求AD的長(zhǎng).
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【題目】已知點(diǎn)A(2,a)在拋物線y=x2上
(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△OAP是等腰三角形?若存在寫出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市校計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗共200株來綠化校園,甲種樹苗每株25元,乙種樹苗每株30元,通過調(diào)查了解,甲乙兩種樹苗成活率分別是90%和95%.
(1)若購買這種樹苗共用去5600元,則甲、乙兩種樹苗各購買了多少株?
(2)如果要求這200株樹苗的成活率不低于93%,那么乙種樹苗至少要購買多少株.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且PD⊥AD.
(1)證明:∠BDC=∠PDC;
(2)若AC與BD相交于點(diǎn)E,AB=1,CE:CP=2:3,求AE的長(zhǎng).
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