【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,過點(diǎn)D作AC的垂線,與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.

(1)求證:EF與⊙O相切;
(2)若AB=6,AD=4 ,求EF的長(zhǎng).

【答案】
(1)

證明:連接OD,

∵AD平分∠CAB,

∴∠OAD=∠EAD.

∵OD=OA,

∴∠ODA=∠OAD.

∴∠ODA=∠EAD.

∴OD∥AE.

∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上,

∴EF與⊙O相切.


(2)

證明:連接BD,作DG⊥AB于G,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°,

∵AB=6,AD=4 ,

∴BD= =2,

∵OD=OB=3,

設(shè)OG=x,則BG=3﹣x,

∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2,即32﹣x2=22﹣(3﹣x)2,

解得x= ,

∴OG=

∴DG= = ,

∵AD平分∠CAB,AE⊥DE,DG⊥AB,

∴DE=DG= ,

∴AE= =

∵OD∥AE,

∴△ODF∽△AEF,

,即

,

∴EF=


【解析】(1)連接OD,由題可知,E已經(jīng)是圓上一點(diǎn),欲證CD為切線,只需證明∠ODF=90°即可.(2)連接BD,作DG⊥AB于G,根據(jù)勾股定理求出BD,進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得DG,根據(jù)角平分線性質(zhì)求得DE=DG= ,然后根據(jù)△ODF∽△AEF,得出比例式,即可求得EF的長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

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(4)若從對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到了“了解”程度的3個(gè)女生和2個(gè)男生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.

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