【題目】如圖①,正方形中,點是對角線的中點,點是線段上(不與,重合)的一個動點,過點作且交邊于點.
(1)求證:.
(2)如圖②,若正方形的邊長為2,過作于點,在點運動的過程中,的長度是否發(fā)生變化?若不變,試求出這個不變的值;若變化,請說明理由.
(3)如圖③,用等式表示線段,,之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)證明見解析;(2)PF為定植是 ,證明見解析;(3),證明見解析
【解析】
(1)作輔助線,構(gòu)建全等三角形,根據(jù)ASA證明△BMP≌△PNE可得結(jié)論;
(2)如圖2,連接OB,通過證明△OBP≌△FPE,得PF=OB,則PF為定值是
(3)根據(jù)△AMP和△PCN是等腰直角三角形,得PA= , ,整理可得結(jié)論.
證明:(1)如圖1,過P作MN∥AD,交AB于M,交CD于N
∵PB⊥PE,
∴∠BPE=90°
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠D=90°
∵AD∥MN
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°
∴∠MPB+∠MBP=90°, ∠MPB+∠NPE=90°
∴∠EPN=∠MBP
Rt△PNC中,∠PCN=45°
∴△PNC是等腰直角三角形
∴PN=CN
∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°
∴四邊形MBCN是矩形
∴BM=CN
∴BM=PN
∴△BMP≌△PNE(ASA)
∴PB=PE
(2)在P點運動的過程中,PF的長度不發(fā)生變化,理由是:
如圖2,連接OB
∵點O是正方形ABCD對角線AC的中點,
∴OB⊥AC
∴∠AOB=90°
∴∠AOB=∠EFP=90°
∴∠OBP+∠BPO=90°
∵∠BPE=90°
∴∠BPO+∠OPE=90°
∴∠OBP=∠OPE
由(1)得:PB=PE
∴△OBP≌△FPE
∴PF=OB
∵AB=2,△ABO是等腰直角三角形
∴∠BAO=45°
∴
∴PF為定植是
(3)如圖1,,理由是:
∵∠BAC=45°
∴△AMP是等腰直角三角形
∴
由(1)知:PM=NE
∴
∵△PCN是等腰直角三角形
∴
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(3,0)、B(1,0)兩點,與y軸相交于點C(0,3),點C.D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點,一次函數(shù)的圖象過點B,D.
(1)D點坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值的x的取值范圍;
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【題目】今年“五一”節(jié),小明外出爬山,他從山腳爬到山頂?shù)倪^程中,中途休息了一段時間.設(shè)他從山腳出發(fā)后所用時間為t(分鐘),所走路程為s(米),s與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則下列說法中,錯誤的是( )
A. 小明中途休息用了20分鐘 B. 小明休息前爬山的速度為每分鐘60米
C. 小明在上述過程中所走路程為7 200米 D. 小明休息前后爬山的平均速度相等
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【題目】如圖,在中,,點從點出發(fā)以每秒2個單位的速度沿向終點運動,過點作的垂線交折線于點,當(dāng)點不和的頂點重合時,以為邊作等邊三角形,使點和點在直線的同側(cè),設(shè)點的運動時間為(秒).
(1)求等邊三角形的邊長(用含的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)點落在的邊上時,求的值;
(3)設(shè)與重合部分圖形的面積為,求與的函數(shù)關(guān)系式;
(4)作直線,設(shè)點關(guān)于直線的對稱點分別為,直接寫出時的值.
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【題目】如圖,將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,點A、B、C均落在格點上.
(1)△ABC的面積等于 ;
(2)若四邊形DEFG是△ABC中所能包含的面積最大的正方形,請你在如圖所示的網(wǎng)格中,用直尺和三角尺畫出該正方形,并簡要說明畫圖方法(不要求證明) .
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【題目】若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù),則把點叫做 “整點”.例如:、都是“整點”,拋物線()與軸交于兩點,若該拋物線在之間的部分與線段所圍成的區(qū)域(包括邊界)恰有七個整點,則的取值范圍是( 。
A.B.
C.D.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對“隔離直線”給出如下定義:點是圖形上的任意一點,點是圖形上的任意一點,若存在直線:滿足且,則稱直線:是圖形與的“隔離直線”,如圖,直線:是函數(shù)的圖像與正方形的一條“隔離直線”.
(1)在直線①,②,③,④中,是圖函數(shù)的圖像與正方形的“隔離直線”的為 .
(2)如圖,第一象限的等腰直角三角形的兩腰分別與坐標(biāo)軸平行,直角頂點的坐標(biāo)是,⊙O的半徑為,是否存在與⊙O的“隔離直線”?若存在,求出此“隔離直線”的表達(dá)式:若不存在,請說明理由;
(3)正方形的一邊在軸上,其它三邊都在軸的左側(cè),點是此正方形的中心,若存在直線是函數(shù)的圖像與正方形的“隔離直線”,請直接寫出的取值范圍.
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【題目】某汽車專賣店經(jīng)銷某種型號的汽車.已知該型號汽車的進(jìn)價為15萬元/輛,經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn):當(dāng)該型號汽車售價定為25萬元/輛時,平均每周售出8輛;售價每降低0.5萬元,平均每周多售出1輛.
(1)當(dāng)售價為22萬元/輛時,求平均每周的銷售利潤.
(2)若該店計劃平均每周的銷售利潤是90萬元,為了盡快減少庫存,求每輛汽車的售價.
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