Question

【題目】如圖，點(diǎn) O 為直線 AB 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 作射線 OC，使∠BOC＝135°，將一個(gè)含 45°角的直角三角尺的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn) O 處，斜邊 OM 與直線 AB 重合，另外兩條直角邊都在直線 AB 的下方．

（1）將圖 1 中的三角尺繞著點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，如圖 2 所示，此時(shí)∠BOM＝ 度（答案直接填寫(xiě)在答題卡的橫線上）；在圖 2 中，OM 是否平分∠CON ? 請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）緊接著將圖 2 中的三角板繞點(diǎn) O 逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖 3 的位置所示，使得 ON 在∠AOC 的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚骸?/span>AOM 與∠CON 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）將圖 1 中的三角板繞點(diǎn) O 按每秒 5°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中， 第 t 秒時(shí)，直線 ON 恰好平分銳角∠AOC，請(qǐng)你直接寫(xiě)出t 的值為多少．

Answer 1

【答案】（1）∠BOM=90°；M 是否平分∠CON，理由見(jiàn)解析；（2）∠AOM=∠CON，理由見(jiàn)解析；（3）4.5秒或40.5秒

【解析】

（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOM的度數(shù)，然后計(jì)算∠MOC的度數(shù)判斷OM是否平分∠CON；

（2）利用∠AOM=45°-∠AON和∠NOC=45°-∠AON可判斷∠AOM與∠CON之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）ON旋轉(zhuǎn)22.5度和202.5度時(shí)，ON平分∠AOC，然后利用速度公式計(jì)算t的值．

解：（1）如圖2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BOM=90°，

OM平分∠CON．理由如下：

∵∠BOC=135°，

∴∠MOC=135°-90°=45°，

而∠MON=45°，

∴∠MOC=∠MON；

（2）∠AOM=∠CON．

理由如下：如圖3，

∵∠MON=45°，

∴∠AOM=45°-∠AON，

∵∠AOC=45°，

∴∠NOC=45°-∠AON，

∴∠AOM=∠CON；

（3）t=×45°÷5°=4.5（秒）或t=（180°+22.5°）÷5°=40.5（秒）．

故答案為90°；4.5秒或40.5秒．