Question

直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=AD=10，DC=4，動(dòng)圓⊙O與AD邊相切于點(diǎn)M，與AB邊相切于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DP交邊CB于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)（如圖1），求CP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)⊙O與BC邊沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)⊙O的半徑為r，求r的取值范圍；
（3）若⊙O′是△CDP的內(nèi)切圓（如圖2），試問(wèn)∠ODO′的大小是否改變？若認(rèn)為不變，請(qǐng)求出∠ODO′的正切值；若認(rèn)為改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)⊙O與BC相切于點(diǎn)Q，與DP相切于點(diǎn)K，由題意得DM=DK，AM=AN，BN=BQ，PQ=PK，則DP+AB=BP+AD，過(guò)D作DH⊥AB于H，根據(jù)四邊形ABCD為直角梯形，得DH=BC，AH=6，設(shè)CP=x，則BP=8-x，則在Rt△DCP中，由勾股定理求得x即可；
（2）延長(zhǎng)AD、BC交于G，則⊙O為△ABG的內(nèi)切圓，即可求得AG，BG，再由三角形的面積公式求出圓的半徑，即可得出半徑的取值范圍；
（3）由題意得出∠ODO′=

1

2

∠ADC，再因?yàn)锳B∥CD，則∠ABD=∠BDC，∠ADB=∠BDC，∠BDC=

1

2

∠ADC，從而求得tan∠ODO′的值．

解答：解：（1）設(shè)⊙O與BC相切于點(diǎn)Q，與DP相切于點(diǎn)K，
∵⊙O與AD邊相切于點(diǎn)M，與AB邊相切于點(diǎn)N，
∴DM=DK，AM=AN，BN=BQ，PQ=PK，
∴DK+PK+AN+BN=DM+PQ+AM+BQ，即DP+AB=BP+AD．
∵AB=AD，
∴DP=BP．
過(guò)D作DH⊥AB于H，
∵ABCD為直角梯形，DC∥AB，∠ABC=90°，
∴DH=BC，AH=AB-DC=6，
∵AD=10，
∴BC=8．
設(shè)CP=x，則BP=8-x，
則在Rt△DCP中，DC²+CP²=DP²，即16+x²=（8-x）²
∴x=3，即CP=3．

（2）圖1中，延長(zhǎng)AD、BC交于G，則⊙O為△ABG的內(nèi)切圓，
∵DH⊥AB，
∴AB：AG=cosA=AH：AD，
∴AG=

50

3

，
∴BG=

40

3

，
∵

1

2

(AG+BG+AB)r1=S△ABG=

1

2

AB•BG，
∴r1=

10× 40 3

40 3 + 50 3 +10

=

10

3

．
⊙O為△ABD的內(nèi)切圓，
在Rt△CBD中，DC=4，CB=8，
∴BD=4

5

，
∵

1

2

(AB+BD+AD)r2=S△ABD=

1

2

AB•DH，
∴r2=

10×8

10+4 5+ 10

=

20

5+ 5

=5-

5

，
∴5-

5

≤r＜

10

3

．

（3）∠ODO′的大小不變．
∵⊙O與AD、DP相切，
∴∠1=∠2，
同理∠3=∠4，
∴∠ODO′=∠2+∠3=

1

2

(2∠2+2∠3)=

1

2

∠ADC，
∵在△ABD中，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴∠BDC=

1

2

∠ADC，
∴tan∠ODO’=tan

1

2

∠ADC=tan∠BDC=

CB

CD

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性很強(qiáng)的題目，考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心、勾股定理、切線長(zhǎng)定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．