Question

【題目】如圖，為的切線，為切點，直線交于點、，過點作的垂線，垂足為點，交于點，延長與交于點，連接，.

（1）求證：直線為的切線；

（2）試探究線段、、之間的等量關系，并加以證明；

（3）若，，求的值和線段的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).

【解析】

（1）連接OB，根據垂徑定理的知識，得出OA=OB，∠POA=∠POB，繼而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質結合切線的判定定理即可得出結論．

（2）先證明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性質得出OA與OD、OP的關系，然后將EF=20A代入關系式即可．

（3）根據題意可確定OD是△ABC的中位線，設AD=x，然后利用三角函數(shù)的知識表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，繼而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA2=ODOP，代入數(shù)據即可得出PE的長．

（1）連接OB，

∵PB是⊙O的切線，

∴∠PBO=90°，

∵OA=OB，BA⊥PO于D，

∴AD=BD，∠POA=∠POB，

又∵PO=PO，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴OA⊥PA，

∴直線PA為⊙O的切線．

（2）EF2=4ODOP．

證明：∵∠PAO=∠PDA=90°

∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，

∴∠OAD=∠OPA，

∴△OAD∽△OPA，

∴，即OA2=ODOP，

又∵EF=2OA，

∴EF2=4ODOP．

（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，

∴OD=BC=3（三角形中位線定理），

設AD=x，

∵tan∠F=，

∴FD=2x，OA=OF=2x-3，

在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x-3）2=x2+32，

解之得，x1=4，x2=0（不合題意，舍去），

∴AD=4，OA=2x-3=5，

∵AC是⊙O直徑，

∴∠ABC=90°，

又∵AC=2OA=10，BC=6，

∴cos∠ACB=．

∵OA2=ODOP，

∴3（PE+5）=25，

∴PE=．