Question

【題目】已知：如圖，做的平分線，在的兩邊上分別截取，再以點(diǎn)為圓心，線段長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接.

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線，分別交于點(diǎn),于點(diǎn)，連接（不寫做法，保留作圖痕跡）；

（3）當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）△PBE是直角三角形，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證明．

（2）利用尺規(guī)周長(zhǎng)線段OA的垂直平分線即可．

（3）結(jié)論：△PBE是直角三角形．想辦法證明∠PBE=90°即可．

（1）證明：∵OP是∠AOB的平分線，

∴∠AOP=∠BOP，

∵OA=OB，OP=OP，

∴△AOP≌△BOP（SAS）

∴AP=BP，

∵OA=AP，

∴OA=OB=BP=AP，

∴四邊形OAPB是菱形．

（2）解：如圖所示．

（3）解：結(jié)論：△PBE是直角三角形．

理由：連接AE，∵EF是線段OA的垂直平分線，

∴AE=OE，

∵PB=PA，∠EPB=∠EPA，PE=PE，

∴△AEP≌△BEP（SAS），

∴AE=BE，

∴OE=BE，

∴∠BOE=∠OBE，

當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，∠BOE=30°，

∴∠OBE=30°，

∵OB=BP，

∴∠BPO=∠BOE=30°，

∴∠OBP=180°-2∠BPO=180°-2×30°=120°，

∴∠PBE=∠OBP-∠OBE=120°-30°=90°，

∴△PBE是直角三角形．