【題目】(12分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于點(diǎn)D.點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),速度都為每秒1個(gè)單位長度,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí),兩點(diǎn)都停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求線段CD的長;
(2)設(shè)△CPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某一時(shí)刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△CPQ為等腰三角形?
【答案】(1)4.8;(2)t=或t=3;(3)t=2.4秒或秒或秒.
【解析】試題分析:(1)利用勾股定理可求出AB長,再用等積法就可求出線段CD的長.
(2)過點(diǎn)P作PH⊥AC,垂足為H,通過三角形相似即可用t的代數(shù)式表示PH,從而可以求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;利用=9:100建立t的方程,解方程即可解決問題.
(3)可分三種情況進(jìn)行討論:由CQ=CP可建立關(guān)于t的方程,從而求出t;由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關(guān)于t的方程,可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似,即可建立關(guān)于t的方程,從而求出t.
試題解析:(1)如圖1,∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∵CD⊥AB,
∴S△ABC=BC·AC=AB·CD.
∴CD===4.8.
∴線段CD的長為4.8;
(2)①過點(diǎn)P作PH⊥AC,垂足為H,如圖2所示.
由題可知DP=t,CQ=t.
則CP=4.8﹣t.
∵∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B.
∵PH⊥AC,
∴∠CHP=90°.
∴∠CHP=∠ACB.
∴△CHP∽△BCA.
∴.
∴.
∴PH= .
∴=CQ·PH=t·()= ;
②存在某一時(shí)刻t,使得=9:100.
∵=×6×8=24,且=9:100,
∴():24=9:100.
整理得:5t2﹣24t+27=0.
即(5t﹣9)(t﹣3)=0.
解得:t=或t=3.
∵0≤t≤4.8,
∴當(dāng)t=秒或t=3秒時(shí), =9:100;
(3)存在
①若CQ=CP,如圖1,
則t=4.8﹣t.
解得:t=2.4.
②若PQ=PC,如圖2所示.
∵PQ=PC,PH⊥QC,
∴QH=CH=QC=.
∵△CHP∽△BCA.
∴.
∴.
解得;t=.
③若QC=QP,
過點(diǎn)Q作QE⊥CP,垂足為E,如圖3所示.
同理可得:t=.
綜上所述:當(dāng)t為2.4秒或秒或秒時(shí),△CPQ為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有、、三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形,現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購物超市,使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等,則超市應(yīng)建在( )
A.在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處
B.在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處
C.在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處
D.在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D點(diǎn),E、F分別為DB、DC的中點(diǎn),則圖中共有全等三角形 對(duì).
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【題目】直線y=2x﹣2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.
(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);
(2)畫出直線AB,并求△OAB的面積;
(3)點(diǎn)C在x軸上,且AC=AB,直接寫出點(diǎn)C坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2016·赤峰)為有效開發(fā)海洋資源,保護(hù)海洋權(quán)益,我國對(duì)南海諸島進(jìn)行了全面調(diào)查.如圖,一測(cè)量船在A島測(cè)得B島在北偏西30°方向,C島在北偏東15°方向,航行100海里到達(dá)B島,在B島測(cè)得C島在北偏東45°,求B,C兩島及A,C兩島的距離.(結(jié)果保留到整數(shù), ≈1.41, ≈2.45)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綠豆在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn),結(jié)果如下表所示:
每批粒數(shù)n | 100 | 300 | 400 | 600 | 1000 | 2000 | 3000 |
發(fā)芽的粒數(shù)m | 96 | 282 | 382 | 570 | 948 | 1904 | 2850 |
發(fā)芽的頻率 | 0.960 | 0.940 | 0.955 | 0.950 | 0.948 | 0.952 | 0.950 |
下面有三個(gè)推斷:
①當(dāng)n=400時(shí),綠豆發(fā)芽的頻率為0.955,所以綠豆發(fā)芽的概率是0.955;
②根據(jù)上表,估計(jì)綠豆發(fā)芽的概率是0.95;
③若n為4000,估計(jì)綠豆發(fā)芽的粒數(shù)大約為3800粒.
其中推斷合理的是( 。
A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③
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【題目】綜合與實(shí)踐
(1)實(shí)踐操作:中,,為直線上一點(diǎn),過點(diǎn)作,與直線相交于點(diǎn),如圖①,圖②,圖③所示,則的形狀為______.
(2)問題解決:等腰三角形是一種特殊的三角形,常與全等三角形的相關(guān)知識(shí)結(jié)合在一起解決問題.如圖④,中,,為上一點(diǎn),為延長線上一點(diǎn),且,交于,求證:.
(3)拓展與應(yīng)用,在(2)的條件下,如圖⑤,過點(diǎn)作的垂線,垂足為,若,則的長為______.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD是⊙O直徑,E是CB延長線上一點(diǎn),且∠BAE=∠C.
(1)求證:直線AE是⊙O的切線;
(2)若∠BAE=30°,⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積;
(3)若EB=AB,cos∠E=,AE=24,求EB的長及⊙O的半徑.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(0,2).
(1)若點(diǎn)(﹣,0)也在該拋物線上,求a,b滿足的關(guān)系式;
(2)若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)都滿足:當(dāng)x1<x2<0時(shí),(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;當(dāng)0<x1<x2時(shí),(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原點(diǎn)O為心,OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B,C,且△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°.
①求拋物線的解析式;
②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱,且O,M,N三點(diǎn)共線,求證:PA平分∠MPN.
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