【題目】定義:連結(jié)菱形的一邊中點(diǎn)與對(duì)邊的兩端點(diǎn)的線段把它分成三個(gè)三角形,如果其中有兩個(gè)三角形相似,那么稱這樣的菱形為自相似菱形.

(1)判斷下列命題是真命題,還是假命題?

①正方形是自相似菱形;

②有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形是自相似菱形.

③如圖1,若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°α90°)EBC中點(diǎn),則在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE與△AED

(2)如圖2,菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC是銳角,邊長(zhǎng)為4,EBC中點(diǎn).

①求AEDE的長(zhǎng);

ACBD交于點(diǎn)O,求tanDBC的值.

【答案】(1)見解析;(2)AE=2,DE=4;②tanDBC=

【解析】

1)①證明ABE≌△DCESAS),得出ABE∽△DCE即可;

②連接AC,由自相似菱形的定義即可得出結(jié)論;

③由自相似菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

2)①由(1)③得ABE∽△DEA,得出,求出AE2DE4即可;

②過(guò)EEMADM,過(guò)DDNBCN,則四邊形DMEN是矩形,得出DNEMDMEN,∠M=∠N90°,設(shè)AMx,則ENDMx+4,由勾股定理得出方程,解方程求出AM1,ENDM5,由勾股定理得出DNEM,求出BN7,再由三角函數(shù)定義即可得出答案.

解:(1)①正方形是自相似菱形,是真命題;理由如下:

如圖3所示:

∵四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)EBC的中點(diǎn),

AB=CD,BE=CE,∠ABE=DCE=90°,

ABEDCE

,

∴△ABE≌△DCE(SAS),

∴△ABE∽△DCE,

∴正方形是自相似菱形,

故答案為:真命題;

②有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形是自相似菱形,是假命題;理由如下:

如圖4所示:

連接AC,

∵四邊形ABCD是菱形,

AB=BC=CD,ADBC,ABCD,

∵∠B=60°,

∴△ABC是等邊三角形,∠DCE=120°,

∵點(diǎn)EBC的中點(diǎn),

AEBC,

∴∠AEB=DAE=90°,

∴只能△AEB與△DAE相似,

ABCD,

∴只能∠B=AED

若∠AED=B=60°,則∠CED=180°90°60°=30°,

∴∠CDE=180°120°30°=30°,

∴∠CED=CDE,

CD=CE,不成立,

∴有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形不是自相似菱形,

故答案為:假命題;

③若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°α90°),EBC中點(diǎn),

則在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE與△AED,是真命題;理由如下:

∵∠ABC=α(0°α90°)

∴∠C90°,且∠ABC+C=180°,△ABE與△EDC不能相似,

同理△AED與△EDC也不能相似,

∵四邊形ABCD是菱形,

ADBC,

∴∠AEB=DAE,

當(dāng)∠AED=B時(shí),△ABE∽△DEA

∴若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°α90°),EBC中點(diǎn),

則在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE與△AED,

故答案為:真命題;

(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC是銳角,邊長(zhǎng)為4,EBC中點(diǎn),

BE=2,AB=AD=4

(1)③得:△ABE∽△DEA,

AE2=BEAD=2×4=8

AE=2,DE===4

故答案為:AE=2;DE=4

②過(guò)EEMADM,過(guò)DDNBCN,如圖2所示:則四邊形DMEN是矩形,

DN=EM,DM=EN,∠M=N=90°,

設(shè)AM=x,則EN=DM=x+4,

由勾股定理得:EM2=DE2DM2=AE2AM2

(4)2(x+4)2=(2)2x2,

解得:x=1,

AM=1,EN=DM=5,

DN=EM==

RtBDN中,

BN=BE+EN=2+5=7

tanDBC=,

故答案為:

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.B.C.D.

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1)畫出△A'B'C',并寫出點(diǎn)A',B',C'的坐標(biāo);

2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)B',BA三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.

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1)求證:

2)當(dāng)的中點(diǎn)時(shí),

①若,判斷以為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形,并說(shuō)明理由;

②若,且,則_________

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1)在中,,,

①如圖1,點(diǎn)D在邊上,且,直接寫出點(diǎn)D關(guān)于的最大內(nèi)半圓的半徑長(zhǎng);

②如圖2,畫出關(guān)于的內(nèi)半圓,并直接寫出它的半徑長(zhǎng);

2)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)E的坐標(biāo)為,點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)(P不與O重合),將關(guān)于的內(nèi)半圓半徑記為R,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的取值范圍.

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(1)A、B兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別為多少?

(2)若該商店A種紀(jì)念品每件售價(jià)45元,B種紀(jì)念品每件售價(jià)60元,這兩種紀(jì)念品共購(gòu)進(jìn)200件,這兩種紀(jì)念品全部售出后總獲利不低于1600元,求A種紀(jì)念品最多購(gòu)進(jìn)多少件.

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A.B.

C.D.

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