【題目】如圖1,已知線(xiàn)段AB、CD相交于點(diǎn)O,連接AC、BD,則我們把形如這樣的圖形稱(chēng)為“8字型”.
(1)求證:∠A+∠C=∠B+D;
(2)如圖2,若∠CAB和∠BDC的平分線(xiàn)AP和DP相交于點(diǎn)P,且與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N.
①以線(xiàn)段AC為邊的“8字型”有 個(gè),以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有 個(gè);
②若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度數(shù);
③若角平分線(xiàn)中角的關(guān)系改為“∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB”,試探究∠P與∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系,并證明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①3, 4;②∠P=110°;③3∠P=∠B+2∠C,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)由三角形內(nèi)角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC,∠B+∠D=180°﹣∠BOD,由對(duì)頂角相等,得到∠AOC=∠BOD,因而∠A+∠C=∠B+∠D;
(2)①以線(xiàn)段AC為邊的“8字形”有3個(gè),以O為交點(diǎn)的“8字形”有4個(gè);
②根據(jù)(1)的結(jié)論,以M為交點(diǎn)“8字型”中,∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以N為交點(diǎn)“8字型”中,∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,兩等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP,由AP和DP是角平分線(xiàn),得到∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,從而∠P=(∠B+∠C),然后將∠B=100,∠C=120代入計(jì)算即可;
③與②的證明方法一樣得到3∠P=∠B+2∠C.
解:(1)在圖1中,有∠A+∠C=180°﹣∠AOC,∠B+∠D=180°﹣∠BOD,
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠A+∠C=∠B+∠D;
(2)解:①以線(xiàn)段AC為邊的“8字型”有3個(gè):
以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有4個(gè):
②以M為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP,
∵AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC,
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,
∴2∠P=∠B+∠C,
∵∠B=100°,∠C=120°,
∴∠P=(∠B+∠C)=(100°+120°)=110°;
③3∠P=∠B+2∠C,其理由是:
∵∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,
∴∠BAP=∠CAB,∠BDP=∠CDB,
以M為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P=∠CDP﹣∠CAP=(∠CDB﹣∠CAB),
∠P﹣∠B=∠BDP﹣∠BAP=(∠CDB﹣∠CAB).
∴2(∠C﹣∠P)=∠P﹣∠B,
∴3∠P=∠B+2∠C.
故答案為:(1)證明見(jiàn)解析;(2)①3, 4;②∠P=110°;③3∠P=∠B+2∠C,理由見(jiàn)解析.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“綠色出行,低碳健身”已成為廣大市民的共識(shí).為方便市民出行,東臺(tái)市推出了公共自行車(chē)系統(tǒng),收費(fèi)以小時(shí)為單位,每次使用不超過(guò)1小時(shí)的免費(fèi),超過(guò)1小時(shí)后,不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)收費(fèi).小紅同學(xué)通過(guò)調(diào)查得知,自行車(chē)使用時(shí)間為3小時(shí),收費(fèi)2元;使用時(shí)間為4小時(shí),收費(fèi)3元.她發(fā)現(xiàn)當(dāng)使用時(shí)間超過(guò)1小時(shí)后用車(chē)費(fèi)用與使用時(shí)間之間存在一次函數(shù)的關(guān)系.
(1)設(shè)使用自行車(chē)的費(fèi)用為元,使用時(shí)間為小時(shí)(為大于1的整數(shù)),求與的函數(shù)解析式;
(2)若小紅此次使用公共自行車(chē)5小時(shí),則她應(yīng)付多少元費(fèi)用?
(3)若小紅此次使用公共自行車(chē)付費(fèi)6元,求她所使用自行車(chē)的時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求證:
(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示,現(xiàn)將△ABC平移,使點(diǎn)A變換為點(diǎn)A′,點(diǎn)B′、C′分別是B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
(1)請(qǐng)畫(huà)出平移后的△A′B′C′,并求△A′B′C′的面積;
(2)若連接AA′,CC′,則這兩條線(xiàn)段之間的關(guān)系是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某次海上軍事學(xué)習(xí)期間,我軍為確!鱋BC海域內(nèi)的安全,特派遣三艘軍艦分別在O、B、C處監(jiān)控△OBC海域,在雷達(dá)顯示圖上,軍艦B在軍艦O的正東方向80海里處,軍艦C在軍艦B的正北方向60海里處,三艘軍艦上裝載有相同的探測(cè)雷達(dá),雷達(dá)的有效探測(cè)范圍是半徑為r的圓形區(qū)域.(只考慮在海平面上的探測(cè))
(1)若三艘軍艦要對(duì)△OBC海域進(jìn)行無(wú)盲點(diǎn)監(jiān)控,則雷達(dá)的有效探測(cè)半徑r至少為多少海里?
(2)現(xiàn)有一艘敵艦A從東部接近△OBC海域,在某一時(shí)刻軍艦B測(cè)得A位于北偏東60°方向上,同時(shí)軍艦C測(cè)得A位于南偏東30°方向上,求此時(shí)敵艦A離△OBC海域的最短距離為多少海里?
(3)若敵艦A沿最短距離的路線(xiàn)以20 海里/小時(shí)的速度靠近△OBC海域,我軍軍艦B沿北偏東15°的方向行進(jìn)攔截,問(wèn)B軍艦速度至少為多少才能在此方向上攔截到敵艦A?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A、B、C在同一直線(xiàn)上,
(1)若∠A=∠3,依據(jù)__________,可得______∥_______;
(2)若∠______=∠______,則依據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線(xiàn)平行,可得DB∥EC;
(3)若∠______+∠_______=180°,則AD∥BE,依據(jù)是____________;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知A(1,6)B(n,﹣2)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y= 的圖象的兩個(gè)交點(diǎn),直線(xiàn)與y軸交于C點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求△BOC的面積;
(3)直接寫(xiě)出不等式kx+b﹣ >0的解集.
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