【題目】如圖,拋物線(a0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣5,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)E為x軸下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)S△ABE=S△ABC時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使BAP=CAE?若存在,求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)E(﹣2,﹣5);(3)

【解析】

試題分析:(1)把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入,利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;

(2)當(dāng)S△ABE=S△ABC時(shí),可知E點(diǎn)和C點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,可求得E點(diǎn)坐標(biāo);

(3)在CAE中,過(guò)E作EDAC于點(diǎn)D,可求得ED和AD的長(zhǎng)度,設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),過(guò)P作PQx軸于點(diǎn)Q,由條件可知EDA∽△PQA,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊可得到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程,可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析:(1)把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式,可得,解得,拋物線解析式為;

(2)在中,令x=0可得y=﹣5,C(0,﹣5),S△ABE=S△ABC,且E點(diǎn)在x軸下方,E點(diǎn)縱坐標(biāo)和C點(diǎn)縱坐標(biāo)相同,當(dāng)y=﹣5時(shí),代入可得,解得x=﹣2或x=0(舍去),E點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,﹣5);

(3)假設(shè)存在滿足條件的P點(diǎn),其坐標(biāo)為(m,),如圖,連接AP、CE、AE,過(guò)E作EDAC于點(diǎn)D,過(guò)P作PQx軸于點(diǎn)Q,則AQ=AO+OQ=5+m,PQ=,在RtAOC中,OA=OC=5,則AC=,ACO=DCE=45°,由(2)可得EC=2,在RtEDC中,可得DE=DC=AD=AC﹣DC==當(dāng)BAP=CAE時(shí),則EDA∽△PQA,,即;

當(dāng)時(shí),整理可得,解得m=或m=﹣5(與A點(diǎn)重合,舍去);

當(dāng)時(shí),整理可得,解得m=或m=﹣5(與A點(diǎn)重合,舍去),存在滿足條件的點(diǎn)P,其橫坐標(biāo)為

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(1)求此拋物線的解析式;

(2)在直線AC上有一動(dòng)點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)E在某個(gè)位置時(shí),使BDE的周長(zhǎng)最小,求此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo);

(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在直線AC與拋物線圍成的封閉線A→C→B→D→A上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在使BDE為直角三角形的情況,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合要求的E點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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