Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+b分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），過(guò)點(diǎn)B的另一條直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，且OB：OC＝3：1．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在線段OB上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)B，C的距離相等，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如果在x軸上方存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B（0，3），y＝3x+3；（2）P的坐標(biāo)（0，）；（3）（4，3）或（3，4）．

【解析】

（1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x+b可計(jì)算出b=3，即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線BC的解析式；

（2）設(shè)PB=PC=x，根據(jù)勾股定理解答即可;

（3）點(diǎn)A，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，利用長(zhǎng)度公式得出點(diǎn)D的坐標(biāo).

解：（1）把A （3，0）代入y＝﹣x+b，得 b＝3，

∴B（0，3），

∴OB＝3，

∵OB：OC＝3：1，

∴OC＝1，

∵點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，

∴C（﹣1，0），

設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，

把B（0，3）及C（﹣1，0）代入，得，

解得 ．

∴直線BC的解析式為：y＝3x+3；

（2）由題意，PB＝PC，

設(shè)PB＝PC＝x，則OP＝3﹣x，

在Rt△POC中，∠POC＝90°，

∴ ，

∴ ，

解得，x＝，

∴OP＝3﹣x＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，）；

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)D在y軸右側(cè)時(shí)，

點(diǎn)A，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，則四邊形BDAC為平行四邊形，

則BD＝AC＝1+3＝4，則點(diǎn)D（4，3），

②當(dāng)點(diǎn)D在y軸左側(cè)時(shí)，

則S△ABD＝S△ABD′，則點(diǎn)D、D′到AB的距離相等，

則直線DD′∥AB，

設(shè)：直線DD′的表達(dá)式為：y＝﹣x+n，

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式并解得：n＝7，

直線DD′的表達(dá)式為：y＝﹣x+7，

設(shè)點(diǎn)D′（n，7﹣n），

A，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，

則BD′＝BC＝，

∴n=3或n=1

又∵AD′＝AC＝

∴n=3或n=7

∴n＝3，

故點(diǎn)D′（3，4）；

綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是：（4，3）或（3，4）．