Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA＝cm，OC＝8cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面積S；

（2）求證：四邊形OPBQ的面積是一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值；

（3）當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，拋物線y＝x 2＋bx＋c經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，過線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于N，當(dāng)線段MN的長取最大值時(shí)，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）S△OPQ＝－t2＋t（0＜t＜8）；（2）四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于；（3）3:29 .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)的運(yùn)動(dòng)速度，可用表示出的長，進(jìn)而根據(jù)的長求出的表達(dá)式，即可由三角形的面積公式得到的函數(shù)關(guān)系式；
（2）四邊形的面積，可由矩形的面積差求得，進(jìn)而可得到所求的定值；
（3）若與和相似，那么必為直角三角形，且 由于 所以這三個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是 根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出的值，進(jìn)而可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出拋物線和直線的解析式；可設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)直線和拋物線的解析式，求出 的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得到關(guān)于的長與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最大值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)與直線的交點(diǎn)為，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的解析式即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，也就能得到的長，以為底， 橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，可求出的面積，進(jìn)而可根據(jù)四邊形的面積求出五邊形的面積，由此可求出它們的比例關(guān)系式．

試題解析：（1）

∴S△OPQ＝ (8－t)·t＝－t2＋t（0＜t＜8）.

（2）∵S四邊形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ.

＝8×－×t－×8×(－t)＝.

∴四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于.

（3）當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，△QPB必須是一個(gè)直角三角形，依題意只能是∠QPB＝90°.

又∵BQ與AO不平行，∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ.

∴根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP.

∴＝，即＝，解得：t＝4.

經(jīng)檢驗(yàn)：t＝4是方程的解且符合題意（從邊長關(guān)系和速度考慮）此時(shí)P（，0）.

∵B（，8）且拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過B、P兩點(diǎn),

∴拋物線是y＝x2－x＋8，直線BP是y＝x－8.

設(shè)M（m， m－8），則N（m， m2－m＋8）.

∵M是BP上的動(dòng)點(diǎn)，∴≤m≤.

∵y1＝x2－x＋8＝ ( x－)2.

∴拋物線的頂點(diǎn)是P（，0）.

又y1＝x2－x＋8與y2＝x－8交于P、B兩點(diǎn),

∴當(dāng)≤m≤時(shí)，y2＞y1.

∴|MN |＝|y2－y1|＝y2－y1＝(m－8)－(m2－m＋8).

＝－m2＋m－16＝－ (m－)2＋2.

∴當(dāng)m＝時(shí)，MN有最大值是2，此時(shí)M（，4）.

設(shè)MN與BQ交于H點(diǎn)，則H（，7）.

∴S△BHM＝×3×＝.

∴S△BHM：S五邊形QOPMH ＝:(－)＝3:29.

∴當(dāng)線段MN的長取最大值時(shí)，直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比為3:29 .