Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)P，直線BF與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且∠AFB=∠ABC．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線．
（2）若CD=2 ，OP=1，求線段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，

∴∠AFB=∠ADC，

∴CD∥BF，

∴∠APD=∠ABF，

∵CD⊥AB，

∴AB⊥BF，

∴直線BF是⊙O的切線．

（2）解：連接OD，

∵CD⊥AB，

∴PD= CD= ，

∵OP=1，

∴OD=2，

∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF，

∴△APD∽△ABF，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）欲證明直線BF是⊙O的切線，只要證明AB⊥BF即可．（2）連接OD，在RT△ODE中，利用勾股定理求出由△APD∽△ABF， ，由此即可解決問(wèn)題．本題考查切線的判定，垂徑定理、勾股定理．相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)條件常用輔助線，屬于中考常考題型．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的切線的判定定理，需要了解切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．