Question

【題目】已知直線 y＝kx＋b(k≠0)過點(diǎn) F(0，1)，與拋物線 相交于B、C 兩點(diǎn)

(1)如圖 1，當(dāng)點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為 1 時(shí)，求直線 BC 的解析式；

(2)在(1)的條件下，點(diǎn) M 是直線 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) M 作 y 軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn) D， 是否存在這樣的點(diǎn) M，使得以 M、D、O、F 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖 2，設(shè) B(m，n)(m＜0)，過點(diǎn) E(0，－1)的直線 l∥x 軸，BR⊥l 于 R，CS⊥l 于 S，連接 FR、FS.試判斷△ RFS 的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；M點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，），，；（3）△RFS是直角三角形；證明見詳解.

【解析】

（1）首先求出C的坐標(biāo)，然后由C、F兩點(diǎn)用待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）因?yàn)?/span>DM∥OF，要使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則DM=OF，設(shè)M（x，），則D（x，x2），表示出DM，分類討論列方程求解；

（3）根據(jù)勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形．

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上，所以C（1，），

又∵直線BC過C、F兩點(diǎn)，

故得方程組：

解之，得，

所以直線BC的解析式為：；

（2）存在；理由如下：

要使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則MD=OF，如圖1所示，

設(shè)M（x，），則D（x，x2），

∵MD∥y軸，

∴，

由MD=OF，可得：；

①當(dāng)時(shí)，

解得：x1=0（舍）或x1=-3，

所以M（-3，）；

②當(dāng)時(shí)，

解得：，

所以M或M，

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M，使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

M點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，），，；

（3）△RFS是直角三角形；理由如下：

過點(diǎn)F作FT⊥BR于點(diǎn)T，如圖2所示，

∵點(diǎn)B（m，n）在拋物線上，

∴m2=4n，

在Rt△BTF中，

，

∵n＞0，

∴BF=n+1，

又∵BR=n+1，

∴BF=BR．

∴∠BRF=∠BFR，

又∵BR⊥l，EF⊥l，

∴BR∥EF，

∴∠BRF=∠RFE，

∴∠RFE=∠BFR，

同理可得∠EFS=∠CFS，

∴∠RFS=∠BFC=90°，

∴△RFS是直角三角形．