Question

【題目】如圖1所示,雙曲線y= (k≠0)與拋物線y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三點(diǎn),已知B(4,2),C(-2,-4),直線CO交雙曲線于另一點(diǎn)D,拋物線與x軸交于另一點(diǎn)E.

(1)求雙曲線和拋物線的解析式;

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠POE+∠BCD=90°?若存在,請求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(3)如圖2所示,過點(diǎn)B作直線L⊥OB,過點(diǎn)D作DF⊥L于F,BD與OF交于點(diǎn)P,求的值.

Answer 1

【答案】（1）雙曲線的解析式為y=，拋物線的解析式為y= ；（2）滿足條件的P點(diǎn)有一個(gè)(18,-54)；（3）

【解析】試題分析：

（1）把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)和拋物線的解析式用待定系數(shù)法即可求得兩個(gè)函數(shù)的解析式了；

（2）連接BD，由點(diǎn)C的坐標(biāo)可得直線OC的解析式為y=2x，及直線OC與的另一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可得BC= ,DB= ,CD= ，由此根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠CBD=90°及tan∠ BDC=，再證∠POE=∠BDC即可

得到tan∠POE=3，從而說明點(diǎn)P在直線y=3x或y=-3x上，結(jié)合點(diǎn)P又在拋物線上，即可分兩種情況進(jìn)行討論求出點(diǎn)P的坐標(biāo)了；

（3）如圖2，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得直線OB的解析式為y= ，由l⊥OB且過點(diǎn)B可求得l的解析式為y=-2x+10，由DF∥OB結(jié)合點(diǎn)D的坐標(biāo)可求得直線DF的解析式為y=x+3，這樣由l和DF的解析式可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，這樣就可得求得DF的長了，結(jié)合OB的長和DF∥OB即可由平行線分線段成比例求得的值了.

試題解析：

(1)把B(4,2)代人y= (k≠0)得2=元,解得k=8z，

∴雙曲線的解析式為y=，

把B(4,2),C(-2,-4)代入y=ax2+bx得，

，

∴ ，

∴拋物線的解析式為y= ；

(2)連接DB,

∵C(-2,-4),

∴直線OC的解析式為y=2x且與y= 的另一個(gè)交點(diǎn)D(2,4)，

∴由兩點(diǎn)間距離公式得BC= ,DB= ,CD= ，

∴BC2+DB2=CD2，

∴∠CBD=90°，

∴tan∠ BDC=.

∵∠POE+∠BCD=90°,∠BCD+∠BDC=90°,

∴∠POE=∠BDC.即tan∠POE=3.

∴P在直線y=3x或y=-3x上,故有兩種情況:

解得(0,0)(舍)或(-6,-18)(舍);

，

解得(0,0)(舍)或(18,-54)，

故可得出滿足條件的P點(diǎn)有一個(gè)(18,-54)；

(3)由B(4,2)可得直線OB解析式y= ，

由OB⊥l可得l的解析式為y=-2x+b1,把(4,2)代入求出b1=10,

∴l的解析式為y=-2x+10，

由DF⊥l，OB⊥l可得DF∥OB,

∴可設(shè)DF解析式y= x+b2，把D(2，4)代入得b2=3.

∴DF的解析式為y=x+3，

把DF的解析式與l的解析式聯(lián)立可得：

解得： ，

∴ ，

∴DF= ，OB=

.∵DF∥OB，

∴.