【題目】如圖1,在RtABC中,ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形紙片DOE的頂點O與邊AB的中點重合,OD交BC于點F,OE經(jīng)過點C,且DOE=B.

(1)證明COF是等腰三角形,并求出CF的長;

(2)將扇形紙片DOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),OD,OE與邊AC分別交于點M,N(如圖2),當CM的長是多少時,OMN與BCO相似?

【答案】(1)證明見解析. (2)當CM的長是時,OMN與BCO相似.

【解析】

試題分析:(1)易證OCB=B,由條件DOE=B可得OCB=DOE,從而得到COF是等腰三角形,過點F作FHOC,垂足為H,如圖1,由等腰三角形的三線合一可求出CH,易證CHF∽△BCA,從而可求出CF長.

(2)題中要求“OMN與BCO相似”,并沒有指明對應關(guān)系,故需分情況討論,由于DOE=B,因此OMN中的點O與BCO中的點B對應,因而只需分兩種情況討論:①△OMN∽△BCO,②△OMN∽△BOC.當OMN∽△BCO時,可證到AOM∽△ACB,從而求出AM長,進而求出CM長;當OMN∽△BOC時,可證到CON∽△ACB,從而求出ON,CN長.然后過點M作MGON,垂足為G,如圖3,可以求出NG.并可以證到MGN∽△ACB,從而求出MN長,進而求出CM長.

試題解析:(1)∵∠ACB=90°,點O是AB的中點,

OC=0B=OA=5.

∴∠OCB=B,ACO=A.

∵∠DOE=B,

∴∠FOC=OCF.

FC=FO.

∴△COF是等腰三角形.

過點F作FHOC,垂足為H,如圖1,

FC=FO,F(xiàn)HOC,

CH=OH=,CHF=90°.

∵∠HCF=B,CHF=BCA=90°,

∴△CHF∽△BCA.

CH=,AB=10,BC=6,

CF=

CF的長為

(2)OMN∽△BCO,如圖2,

則有NMO=OCB.

∵∠OCB=B,

∴∠NMO=B.

∵∠A=A,

∴△AOM∽△ACB.

∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6,

AC=8.

AO=5,AC=8,AB=10,

AM=

CM=AC-AM=

OMN∽△BOC,如圖3,

則有MNO=OCB.

∵∠OCB=B,

∴∠MNO=B.

∵∠ACO=A,

∴△CON∽△ACB.

BC=6,AB=10,AC=8,CO=5,

ON=,CN=

過點M作MGON,垂足為G,如圖3,

∵∠MNO=B,MON=B,

∴∠MNO=MON.

MN=MO.

MGON,即MGN=90°,

NG=OG=

∵∠MNG=B,MGN=ACB=90°,

∴△MGN∽△ACB.

GN=,BC=6,AB=10,

MN=

CM=CN-MN=-=

當CM的長是時,OMN與BCO相似.

練習冊系列答案
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50名學生平均每天課外閱讀時間統(tǒng)計表

類別

時間t(小時)

人數(shù)

A

t<0.5

10

B

0.5≤t<1

20

C

1≤t<1.5

15

D

t≥1.5

a

(1)本次調(diào)查的樣本容量為多少?
(2)求表格中的a的值,并在圖中補全條形統(tǒng)計圖;
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組別

A

B

C

D

E

時間t(分鐘)

t<40 

40≤t<60 

60≤t<80 

80≤t<100 

t≥100 

人數(shù)

12

30

a

24

12

(1)求出本次被調(diào)查的學生數(shù);
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