Question

【題目】已知關于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0.

(1)當m取何值時,此方程有兩個不相等的實數(shù)根;

(2)當拋物線y=mx2+(3m+1)x+3與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù),且m為正整數(shù)時,求此拋物線的解析式;

(3)在(2)的條件下,若P(a,y1),Q(1,y2)是此拋物線上的兩點,且y1>y2,請結合函數(shù)圖象直接寫出實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)當m≠且m≠0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）y=x2+4x+3；(3) 當y1>y2時,a>1,或a<-5.

【解析】

（1）根據(jù)一元二次方程的定義和一元二次方程根的判別式進行分析解答即可；

（2）用公式法求得關于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0的兩根，再結合已知條件求得m的值即可得到拋物線的解析式；

（3）根據(jù)（2）中所得拋物線的解析式，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象結合已知條件即可求得對應的a的取值范圍.

(1)由題意可知，Δ=b2-4ac=(3m+1)2-4m×3=(3m-1)2>0，

解得：m≠，

∵mx2+(3m+1)x+3=0是一元二次方程，

∴m≠0，

∴當m≠且m≠0時，關于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)由一元二次方程的求根公式可解得mx2+(3m+1)x+3=0的兩實數(shù)根為：x1=-3，x2=.

∵拋物線與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且m為正整數(shù),

∴m=1,

∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3；

(3)畫出函數(shù)y=x2+4x+3的圖象如下圖所示；

當x=1時，y=1+4+3=8，由此可得圖中點Q的坐標為（1，8），

過點Q作y軸的垂線，交拋物線于點M，

根據(jù)拋物線的對稱性，可得點M(-5，8)，

由圖象可知,當y1>y2時，a>1，或a<-5.