Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線與直線y＝ax+b（a≠0）交于A、B兩點，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點，E為x軸上一點．已知OA＝OC＝OE，A點坐標為（3，4）．

（1）將線段OE沿x軸平移得線段O′E′（如圖1），在移動過程中，是否存在某個位置使|BO′﹣AE′|的值最大？若存在，求出|BO′﹣AE′|的最大值及此時點O′的坐標；若不存在，請說明理由；

（2）將直線OA沿射線OE平移，平移過程中交的圖象于點M（M不與A重合），交x軸于點N（如圖3）．在平移過程中，是否存在某個位置使△MNE為以MN為腰的等腰三角形？若存在，求出M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）存在，|BO′﹣AE′|的最大值為，此時點O′的坐標（﹣，0）；（2）存在，M（）或（8，）．

【解析】

（1）把A向左平移5個單位得A1（-2，4），作B關于x軸的對稱點B1，則有|BO′-AE′|=|BO′-A1O′|=B1O′-A1O′|≤A1B1，想辦法求出A1B1，直線A1B1的解析式即可解決問題；

（2）設M（m，），則N（m，0），NE2=（5-m+）2，ME2=（5-m）2+（）2，MN2=（）2+（）2，分MN=EM，MN=NE兩種情形，分別構建方程即可解決問題．

（1）如圖1中，

∵A（3，4），

∴OA＝＝5，

∵OA＝OC＝OE，

∴OA＝OC＝OE＝5，

∴C（﹣5，0），E（5，0），

把A、C兩點坐標代入y＝ax+b得到，

解得，

∴直線的解析式為：，

把A（3，4）代入y＝中，得到k＝12，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，

把A向左平移5個單位得A1（﹣2，4），作B關于x軸的對稱點B1，

則有|BO′﹣AE′|＝|BO′﹣A1O′|＝|B1O′﹣A1O′|≤A1B1，

直線AC：，

雙曲線：，

∴B（﹣8，﹣），B1（﹣8，），

∴A1B1＝，

直線A1B1：，

令y＝0，可得x＝﹣，

∴O′（﹣，0）．

∴|BO′﹣AE′|的最大值為，此時點O′的坐標（﹣，0）．

（2）設M（m，），則N（m﹣，0），

∴NE2＝（5﹣m+）2，ME2＝（5﹣m）2+（）2，MN2＝（）2+（）2

若MN＝ME，則有，（5﹣m）2+（）2＝（）2+（）2，

解得：m＝或（舍棄），

∴M（，），

若MN＝NE，則有（5﹣m+）2＝（）2+（）2，解得m＝8或3（舍棄），

∴M（8，），

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（，）或（8，）．