Question

【題目】已知：如圖：在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，等腰Rt△DEF中，∠FDE=，DE=3cm。動(dòng)點(diǎn)D、E始終在邊AB上，當(dāng)點(diǎn)D從A點(diǎn)沿AC方向移動(dòng)。

（1）在Rt△DEF沿AC方向移動(dòng)的過(guò)程中，F，C兩點(diǎn)之間的距離逐漸_______。（填“不變“變大”或“變小”）

（2）當(dāng)F、C連線與AB平行時(shí)，求AD的長(zhǎng)。

（3）以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形時(shí)，求AD的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】（1）變小；（2）;（3）AD=6.7cm或4.2cm.

【解析】

（1）根據(jù)題意可知：DF=3cm，DC逐漸變小，再根據(jù)勾股定理即可判斷；

（2）根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和平行線的性質(zhì)，可得：AC=2BC=10cm，∠FCD=∠A=30°，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出CD，從而求出AD；

（3）設(shè)AD=x，根據(jù)題意可知：0＜x≤10－3=7，則CD= AC－AD=10－x，再根據(jù)勾股定理可得：FC=，然后根據(jù)直角三角形斜邊的情況分類討論，最后利用勾股定理分別求出每種情況中x的值即可.

解：（1）根據(jù)題意可知：DF=DE=3cm，DC逐漸變小，

根據(jù)勾股定理可得：FC=

∴F，C兩點(diǎn)之間的距離逐漸變小，

故答案為：變小；

（2）如下圖所示，FC∥AB

∵∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，

∴AC=2BC=10cm，∠FCD=∠A=30°

在Rt△CFD中，CD=cm

∴AD=AC－CD=；

（3）設(shè)AD=x，根據(jù)題意可知：0＜x≤10－3=7，則CD= AC－AD=10－x

根據(jù)勾股定理可得：FC=

①若AD為斜邊時(shí)，

∴AD2=FC2+BC2

∴

解得：；

②若FC為斜邊時(shí)，

∴FC2= AD2 +BC2

∴

解得：；

③若BC為斜邊時(shí)，

∴BC2= AD2 + FC2

∴

整理得：

∵

∴此方程無(wú)解.

綜上所述：AD=6.7cm或4.2cm.