Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線y=x2+bx+c的表達式；

（2）點D為拋物線對稱軸上一點，當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標(biāo)；

（3）點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E，與y軸交于點F，求PE+EF的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）如圖1，設(shè)D（2，y），利用兩點間的距離公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后討論：當(dāng)BD為斜邊時得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；當(dāng)CD為斜邊時得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分別解方程即可得到對應(yīng)D的坐標(biāo)；

（3）先證明∠CEF=90°得到△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖2，△EPG、△PHF都為等腰直角三角形，則PE=PG，PF=PH，設(shè)P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），接著利用t表示PF、PE，這樣PE+EF=2PE+PF=﹣t2+4t，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

試題解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得： ，解得： ，∴拋物線y=x2+bx+c的表達式為y=x2﹣4x+3；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸為直線x=﹣=2，設(shè)D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此時D點坐標(biāo)為（2，5）；

當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此時D點坐標(biāo)為（2，﹣1）；

（3）易得BC的解析式為y=﹣x+3．∵直線y=x+m與直線y=x平行，∴直線y=﹣x+3與直線y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖2，△EPG、△PHF都為等腰直角三角形，PE=PG，PF=PH，設(shè)P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），∴PF=PH=t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=PG=﹣t2+t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+3t+t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，當(dāng)t=2時，PE+EF的最大值為4．