【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象是直線l,設直線l分別與y軸、x軸交于點A、B.
(1)求線段AB的長度;
(2)設點M在射線AB上,將點M繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到點N,以點N為圓心,NA的長為半徑作⊙N.
①當⊙N與x軸相切時,求點M的坐標;
②在①的條件下,設直線AN與x軸交于點C,與⊙N的另一個交點為D,連接MD交x軸于點E,直線m過點N分別與y軸、直線l交于點P、Q,當△APQ與△CDE相似時,求點P的坐標.
【答案】(1)AB=5;(2)①M(6,-4);②(0,14)或(0,-6).
【解析】
(1)由一次函數(shù)解析式容易求得A、B的坐標,利用勾股定理可求得AB的長度;
(2)①根據(jù)同角的三角函數(shù)得:tan∠OAB=,設EM=3x,AE=4x,則AM=5x,得M(3x,-4x+4),證明△AHN≌△MEA,則AH=EM=3x,根據(jù)NG=OH,列式可得x的值,計算M的坐標即可;
②如圖2,先計算E與G重合,易得∠QAP=∠OAB=∠DCE,所以△APQ與△CDE相似時,頂點C必與頂點A對應,可分兩種情況進行討論:
i)當△DCE∽△QAP時,證明△ACO∽△NCE,列比例式可得CO=,根據(jù)三角函數(shù)得:tan∠QNA=tan∠DNF=,AQ=20,則tan∠QAH=tan∠OAB=,設QH=3x,AH=4x,則AQ=5x,求出x的值,得P(0,14);
ii)當△DCE∽△PAQ時,如圖3,先證明B與Q重合,由AN=AP可得P(0,-6).
(1)當x=0時,y=4,
∴A(0,4),
∴OA=4,
當y=0時,-x+4=0,
x=3,
∴B(3,0),
∴OB=3,
由勾股定理得:AB=5;
(2)①如圖1,過N作NH⊥y軸于H,過M作ME⊥y軸于E,
tan∠OAB=,
∴設EM=3x,AE=4x,則AM=5x,
∴M(3x,-4x+4),
由旋轉(zhuǎn)得:AM=AN,∠MAN=90°,
∴∠EAM+∠HAN=90°,
∵∠EAM+∠AME=90°,
∴∠HAN=∠AME,
∵∠AHN=∠AEM=90°,
∴△AHN≌△MEA,
∴AH=EM=3x,
∵⊙N與x軸相切,設切點為G,連接NG,則NG⊥x軸,
∴NG=OH,
則5x=3x+4,
2x=4,
x=2,
∴M(6,-4);
②如圖2,由①知N(8,10),
∵AN=DN,A(0,4),
∴D(16,16),
設直線DM:y=kx+b,
把D(16,16)和M(6,-4)代入得:
,
解得:,
∴直線DM的解析式為:y=2x-16,
∵直線DM交x軸于E,
∴當y=0時,2x-16=0,
x=8,
∴E(8,0),
由①知:⊙N與x軸相切,切點為G,且G(8,0),
∴E與切點G重合,
∵∠QAP=∠OAB=∠DCE,
∴△APQ與△CDE相似時,頂點C必與頂點A對應,
分兩種情況:
i)當△DCE∽△QAP時,如圖2,∠AQP=∠NDE,
∵∠QNA=∠DNF,
∴∠NFD=∠QAN=90°,
∵AO∥NE,
∴△ACO∽△NCE,
∴,
∴,
∴CO=,
連接BN,
∴AB=BE=5,
∵∠BAN=∠BEN=90°,
∴∠ANB=∠ENB,
∵EN=ND,
∴∠NDE=∠NED,
∵∠CNE=∠NDE+∠NED,
∴∠ANB=∠NDE,
∴BN∥DE,
Rt△ABN中,BN=,
sin∠ANB=∠NDE=,
∴,
∴NF=2,
∴DF=4,
∵∠QNA=∠DNF,
∴tan∠QNA=tan∠DNF=,
∴,
∴AQ=20,
∵tan∠QAH=tan∠OAB=,
設QH=3x,AH=4x,則AQ=5x,
∴5x=20,
x=4,
∴QH=3x=12,AH=16,
∴Q(-12,20),
同理易得:直線NQ的解析式:y=-x+14,
∴P(0,14);
ii)當△DCE∽△PAQ時,如圖3,
∴∠APN=∠CDE,
∵∠ANB=∠CDE,
∵AP∥NG,
∴∠APN=∠PNE,
∴∠APN=∠PNE=∠ANB,
∴B與Q重合,
∴AN=AP=10,
∴OP=AP-OA=10-4=6,
∴P(0,-6);
綜上所述,△APQ與△CDE相似時,點P的坐標的坐標(0,14)或(0,-6).
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【題目】為了節(jié)省材料,某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊,用總長為80米的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域,而且AE:BE=2:1.設BC的長度是米,矩形區(qū)域ABCD的面積為平方米.
(1)求與之間的函數(shù)關系式,并注明自變量的取值范圍;
(2)取何值時,有最大值?最大值是多少?
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【題目】如圖所示,可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被3等分,指針落在每個扇形內(nèi)的機會均等.
(1)現(xiàn)隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,停止后,指針指向1的概率為 ;
(2)小明和小華利用這個轉(zhuǎn)盤做游戲,若采用下列游戲規(guī)則,你認為對雙方公平嗎?請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由.
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【題目】如圖,直線y=-x-3交x軸于點A,交y軸于點B,點P是x軸上一動點,以點P為圓心,以1個單位長度為半徑作⊙P,當⊙P與直線AB相切時,點P的坐標是_______.
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【題目】如圖等腰三角形的頂角=45°,以AB為直徑的半圓O與BC,AC相較于點D,E兩點,則弧AE所對的圓心角的度數(shù)為( )
A.40°B.50°
C.90°D.100°
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【題目】某商店以40元/千克的單價新進一批茶葉,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在一段時間內(nèi),銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)之間的函數(shù)關系如圖所示.
(1)根據(jù)圖象,求y與x的函數(shù)關系式;
(2)商店想在銷售成本不超過3000元的情況下,使銷售利潤達到2400元,問銷售單價應定為多少元?
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,F是線段AC上一點,過點A的⊙F交AB于點D,E是線段BC上一點,且ED=EB,則EF的最小值為_______________.
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