【題目】如圖①,將正方形ABOD放在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3),
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ;
(2)若點(diǎn)P為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn),作等腰直角三角形APE,使∠PAE=90°,如圖②,連接DE,則BP與DE的關(guān)系(位置與數(shù)量關(guān)系)是 ,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,再作等邊三角形APF,連接EF、FD,如圖③,在 P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中當(dāng)EF取最小值時(shí),此時(shí)∠DFE= °;
(4)在(1)的條件下,點(diǎn) M在 x 軸上,在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以 B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,2);(2)BP與DE的關(guān)系是垂直且相等,證明詳見解析;(3)∠DFE= 150 °;(4)存在,點(diǎn)N坐標(biāo)為(+2,1)或(-+2,1)或(-3,-1)或(--3,-1)或(-1,5)
【解析】
(1)如圖,過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E,過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F,證明△BEO≌△OFD,則可得OF=BE,OE=FD,根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)(2,3),可求得點(diǎn)B坐標(biāo);
(2)如圖,通過證明△ABP≌△ADE(SAS),可得∠4=∠5,BP=DE,進(jìn)而可證明∠BDE=90°,則,BP與DE垂直且相等得證;
(3)由等邊△APF和等腰直角△PAE,可知△AFE為等腰三角形,頂角為30°,且EF為底邊,所以當(dāng)腰AF最小時(shí),底邊EF則最小,故而AP垂直BD時(shí),AF=AP此時(shí)取最小值,此時(shí)易證△AFE≌△PFD,故而∠AFE=∠PFD=75°,根據(jù)周角為360°,即可計(jì)算∠EFD的度數(shù);
(4)分情況討論,①當(dāng)BD為菱形的邊時(shí),通過作圖構(gòu)造直角三角形,使用勾股定理先求對(duì)應(yīng)點(diǎn)M坐標(biāo),再根據(jù)菱形的性質(zhì)及平移思想,求點(diǎn)N坐標(biāo);②當(dāng)BD為菱形的對(duì)角線時(shí),M與O重合,此時(shí)N與A重合,同樣構(gòu)造直角三角形,使用勾股定理求解即可.
解(1):過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E,過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F,
∵ABOD為正方形,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3),
∴OB=OD,∠BE0=∠DFO,∠BOE=∠ODF,
∴△BEO≌△OFD,
∴OF=BE,OE=FD,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,2),
故答案為:(-3,2);
(2)BP與DE的關(guān)系是:垂直且相等;
證明:如圖,
∵正方形ABOD,
∴∠BAD=90°,AB=AD,
∵∠PAE=90°,
∴∠BAD-∠3=∠PAE-∠3,
即∠1=∠2,
∵AP=AE,
∴△ABP≌△ADE(SAS),
∴∠4=∠5, BP=DE,
∵∠4+∠6=90°,
∴∠5+∠6=90°,
即∠BDE=90°,
∴BP⊥DE,
∴BP與DE垂直且相等,
故答案為:垂直且相等;
(3)∵△APF為等邊三角形,△PAE為等腰直角三角形,且∠PAE=90°,
∴AF=AE,∠FAE=30°,
即△AFE為等腰三角形,且EF為底邊,
∴當(dāng)EF最小時(shí),AF=AE應(yīng)該取最小值,即AP應(yīng)當(dāng)取最小值,
∵四邊形ABOD為矩形,BD為ABOD一條對(duì)角線,
∴當(dāng)AP⊥BD時(shí),EF有最小值,如下圖所示,
∴AP=PD=AE,∠PAD=∠APD=90°,
∴∠EAF=∠DPF=30°,
又∵AF=PF,
∴△AFE≌△PFE,
∴∠PFD=∠AFE=75°,
∴∠EFD=360°-75°-75°-60°=150°,
即,當(dāng)EF取最小值時(shí),∠DFE=150°,
故答案為:150;
(4)∵D(2,3),
∴OD=,
∴BD=,
①當(dāng)BD為菱形的邊時(shí),
(Ⅰ)如圖,作BQ⊥x軸于Q,
MB=BD=,在Rt△BQM中根據(jù)勾股定理,可得M1(-3,0)、M2(--3,0),
∵B向右平移5個(gè)單位再向上平移1個(gè)單位得到D,
∴N1(+2,1)、N2(-+2,1);
(Ⅱ)如圖,作TP垂直x軸于P,
MD=BD=,在Rt△DPM中根據(jù)勾股定理,可得M3(+2,0)、M4(-+2,0),
∵D向左平移5個(gè)單位再向下平移1個(gè)單位得到B,
∴N3(-3,-1)、N4(--3,-1)
②當(dāng)BD為菱形的對(duì)角線時(shí),M與O重合,此時(shí)N與A重合,
如圖,作AJ∥x軸交y軸于R,過點(diǎn)D作JK⊥x軸垂足為K,交AJ于點(diǎn)J,
易證△ALD≌△DKO,
∴JK=5,
在Rt△ARO中使用勾股定理,即可求N5(-1,5),
綜上所述,點(diǎn)N坐標(biāo)為(+2,1)或(-+2,1)或(-3,-1)或(--3,-1)或(-1,5).
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【題目】四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,菱形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),對(duì)角線BD與x軸平行,若直線y=kx+5+2k(k≠0)與菱形ABCD有交點(diǎn),則k的取值范圍是( 。
A.B.
C.D.﹣2≤k≤2且k≠0
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【題目】已知關(guān)于x的方程.
(1)求證:無論k取何值,該方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若等腰的一邊長(zhǎng),另兩邊b、c恰好是該方程的兩個(gè)根,求的周長(zhǎng).
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【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于任意兩點(diǎn),,若點(diǎn)滿足,,那么稱點(diǎn)是點(diǎn),的融合點(diǎn).
例如:,,當(dāng)點(diǎn)滿是,時(shí),則點(diǎn)是點(diǎn),的融合點(diǎn),
(1)已知點(diǎn),,,請(qǐng)說明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的融合點(diǎn).
(2)如圖,點(diǎn),點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)是點(diǎn),的融合點(diǎn).
①試確定與的關(guān)系式.
②若直線交軸于點(diǎn),當(dāng)為直角三角形時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】某學(xué)校對(duì)學(xué)生暑假參加志愿服務(wù)的時(shí)間進(jìn)行抽樣調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)分成、、、、五組進(jìn)行整理,并繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖表(圖中信息不完整).
分組統(tǒng)計(jì)表
組別 | 志愿服務(wù)時(shí)間(時(shí)) | 人數(shù) |
A | ||
B | 40 | |
C | ||
D | ||
E | 16 |
請(qǐng)結(jié)合以上信息解答下列問題
(1)求、、的值;
(2)補(bǔ)全“人數(shù)分組統(tǒng)計(jì)圖①中組的人數(shù)和圖②組和組的比例值”;
(3)若全校學(xué)生人數(shù)為800人,請(qǐng)估計(jì)全校參加志愿服務(wù)時(shí)間在的范圍的學(xué)生人數(shù).
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【題目】如圖,AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于點(diǎn)C,BD平分∠ABC,且交AE于點(diǎn)D,連接CD,求證:
(1)AC⊥BD;
(2)四邊形ABCD是菱形.
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【題目】學(xué)校提倡練字,小冬和小紅一起去文具店買鋼筆和字帖,小冬在文具店買1支鋼筆和3本字帖共花了38元,小紅買了2支鋼筆和4本字帖共花了64元.
(1)每支鋼筆與每本字帖分別多少元?
(2)帥帥在六一節(jié)當(dāng)天去買,正巧碰到文具店搞促銷,促銷方案有兩種形式:
①所購(gòu)商品均打九折
②買一支鋼筆贈(zèng)送一本字帖
帥帥要買5支鋼筆和15本字帖,他有三種選擇方案:
(Ⅰ)一次買5支鋼筆和15本字帖,然后按九折付費(fèi);
(Ⅱ)一次買5支鋼筆和10本字帖,文具店再贈(zèng)送5本字帖;
(Ⅲ)分兩次購(gòu)買,第一次買5支鋼筆,文具店會(huì)贈(zèng)送5本字帖,第二次再去買10本字帖,可以按九折付費(fèi);問帥帥最少要付多少錢?
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【題目】在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG(如圖①),求證:△AEG≌△AEF;
(2)若直線EF與AB,AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M,N(如圖②),求證:EF2=ME2+NF2;
(3)將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形,若其余條件不變(如圖③),請(qǐng)你直接寫出線段EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.
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