Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線AC=12，∠ACO=30°

（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)G（）作GF⊥AC，垂足為F，直線GF分別交AB、OC于點(diǎn)E、D，求直線DE的解析式；

（3）在⑵的條件下，若點(diǎn)M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)、F、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) C的坐標(biāo)是：（6，0），B的坐標(biāo)是（6，6）；(2) y=x-6；(3) （3，-3）或（3，3）或（-3，-3）或（，3）．

【解析】

試題分析：（1）利用三角函數(shù)求得OA以及OC的長度，則C、B的坐標(biāo)即可得到；

（2）先求出直線DE的斜率，設(shè)直線DE的解析式是y=x+b，再把點(diǎn)G代入求出b的值即可；

（3）分當(dāng)FM是菱形的邊和當(dāng)OF是對角線兩種情況進(jìn)行討論．利用三角函數(shù)即可求得P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）在直角△OAC中，

∵∠ACO=30°

∴tan∠ACO=，

∴設(shè)OA=x，則OC=3x，

根據(jù)勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，

即9x2+3x2=144，

解得：x=2．

故C的坐標(biāo)是：（6，0），B的坐標(biāo)是（6，6）；

（2）∵直線AC的斜率是：-，

∴直線DE的斜率是：．

∴設(shè)直線DE的解析式是y=x+b，

∵G（0，-6），

∴b=-6，

∴直線DE的解析式是：y=x-6；

（3）∵C的坐標(biāo)是：（6，0），B的坐標(biāo)是（6，6）；

∴A（0，6），

∴設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴，

解得．

∴直線AC的解析式為y=-x+6．

∵直線DE的解析式為y=x-6，

∴，

解得．

∴F是線段AC的中點(diǎn)，

∴OF=AC=6，

∵直線DE的斜率是：．

∴DE與x軸夾角是60°，

當(dāng)FM是菱形的邊時（如圖1），ON∥FM，

則∠POC=60°或120°．

當(dāng)∠POC=60°時，過N作NG⊥y軸，則PG=OPsin30°=6×=3，

OG=OPcos30°=6×=3，則P的坐標(biāo)是（3，3）；

當(dāng)∠NOC=120°時，與當(dāng)∠POC=60°時關(guān)于原點(diǎn)對稱，則坐標(biāo)是（-3，-3）；

當(dāng)OF是對角線時（如圖2），MP關(guān)于OF對稱．

∵F的坐標(biāo)是（3，3），

∴∠FOD=∠POF=30°，

在直角△OPH中，OH=OF=3，OP==2．

作PL⊥y軸于點(diǎn)L．

在直角△OPL中，∠POL=30°，

則PL=OP=，

OL=OPcos30°=2×=3．

故P的坐標(biāo)是（，3）．

當(dāng)DE與y軸的交點(diǎn)時G，這個時候P在第四象限，

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3，-3）．

則P的坐標(biāo)是：（3，-3）或（3，3）或（-3，-3）或（，3）．