Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，BE＝BC.

（1）求證：EC平分∠BED.
（2）過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，連接FD，與EC交于點(diǎn)O，求FD·EC的值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：作CF垂直BE于F

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠DEC=∠BEC，
即EC平分∠BED．
（2）解：如圖所示：

∵CF⊥EB，CD⊥ED，EC平分∠BED，
∴CF=CD=3，
在Rt△ABE中，∵AB=3，BE=BC=5，
∴AE= =4，
∴DE=1，
在Rt△ECD和Rt△ECF中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△ECF，
∴ED=EF=1，∵CF=CD=3，
∴EC垂直平分線段DF，
∴S四邊形EFCD=2S△EDC= ECDF，
∴ ECDF=2× ×3×1=3，
∴ECDF=6．
【解析】（1）根據(jù)已知BE＝BC，可證出∠BEC=∠BCE，再根據(jù)矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得出∠DEC=∠BCE，就可得到∠DEC=∠BEC，即可征得結(jié)論。
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明DE=EF，利用直角三角形全等的判定方法證明Rt△ECD≌Rt△ECF，得出CF=CD，再利用勾股定理求出AE的長，就可求出DE的長，再求出△ECD的面積，然后根據(jù)S四邊形EFCD=2S△EDC ， 即可求出結(jié)果。