【題目】如圖,在矩形ABCD中,O為AC中點,EF過點O且EF⊥AC分別交DC于點F,交AB于點E,點G是AE中點且∠AOG=30°,給出以下結論: ①∠AFC=120°;
②△AEF是等邊三角形;
③AC=3OG;
④S△AOG= S△ABC
其中正確的是 . (把所有正確結論的序號都選上)
【答案】①②④
【解析】解:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AB∥CD,∠B=90°,
∴∠FCA=∠OAG,
∵O為AC中點,EF⊥AC,
∴AF=CF,
∴∠FAC=∠FCA,
∵點G是AE中點且∠AOG=30°,
∴OG= AE=AG,
∴∠OAG=∠AOG=30°,
∴∠FCA=∠FAC=30°,
∴∠AFC=180°﹣30°﹣30°=120°,①正確;
∵∠FAE=30°+30°=60°,∠AEO=90°﹣30°=60°,
∴∠AFE=60°,
∴△AEF是等邊三角形,②正確;
∵∠OAG=30°,EF⊥AC,
∴AE=2OE=2OG,
∴OA= OE= OG,
∴AC=2OA=2 OG,③不正確;
∵點G是AE中點,
∴S△AOG= S△AOE ,
∵∠AOE=90°=∠B,∠OAE=∠BAC,
∴△AOE∽△ABC,相似比為 = = = ,
∴ =( )= ,
∴S△AOG= S△ABC , ④正確;
故答案為:①②④.
由矩形的性質得出AB∥CD,∠B=90°,得出∠FCA=∠OAG,由線段垂直平分線的性質得出AF=CF,得出∠FAC=∠FCA,由直角三角形的性質得出OG= AE=AG,得出∠OAG=∠AOG=30°,求出∠FCA=∠FAC=30°,再由三角形內角和定理得出①正確;求出∠FAE=∠AEO=∠AFE=60°,得出△AEF是等邊三角形,②正確;由含30°角的直角三角形的性質和勾股定理得出OA= OE= OG,得出AC=2OA=2 OG,③不正確;由中點的性質得出S△AOG= S△AOE , 證明△AOE∽△ABC,得出 = ,得出S△AOG= S△ABC , ④正確,即可得出結論.
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【題目】(1)如圖,已知∠AOB=∠COD=90°,試寫出兩個與圖①中角(直角除外)有關的結論:
(ⅰ)∠__ __=∠__ __,
(ⅱ)∠__ __+∠__ __=180°;
(2)請選擇(1)中的一個結論說明理由.
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【題目】甲、乙兩車從A地將一批物品勻速運往B地,已知甲出發(fā)0.5h后乙開始出發(fā),如圖,線段OP、MN分別表示甲、乙兩車離A地的距離S(km)與時間t(h)的關系,請結合圖中的信息解決如下問題:
(1)計算甲、乙兩車的速度及a的值;
(2)乙車到達B地后以原速立即返回. ①在圖中畫出乙車在返回過程中離A地的距離S(km)與時間t(h)的函數(shù)圖象;
②請問甲車在離B地多遠處與返程中的乙車相遇?
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【題目】如圖,正方形ABCD邊長為8cm,F(xiàn)G是等腰直角△EFG的斜邊,F(xiàn)G=10cm,點B、F、C、G都在直線l上,△EFG以1cm/s的速度沿直線l向右做勻速運動,當t=0時,點G與B重合,記t(0≤t≤8)秒時,正方形與三角形重合部分的面積是Scm2 , 則S與t之間的函數(shù)關系圖象大致為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖①,在三角形ABC中,點E,F(xiàn)分別為線段AB,AC上任意兩點,EG交BC于點G,交AC的延長線于點H,∠1+∠AFE=180°.
(1)證明:BC∥EF;
(2)如圖②,若∠2=∠3,∠BEG=∠EDF,證明:DF平分∠AFE.
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【題目】已知:如圖,AB為⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.
(1)求BD的長
(2)求圖中陰影部分的面積
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【題目】尤秀同學遇到了這樣一個問題:如圖1所示,已知AF,BE是△ABC的中線,且AF⊥BE,垂足為P,設BC=a,AC=b,AB=c.
求證:a2+b2=5c2
該同學仔細分析后,得到如下解題思路:
先連接EF,利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA,故 ,設PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分別表示出來,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理計算,消去m,n即可得證
(1)請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學寫出證明過程.
(2)利用題中的結論,解答下列問題:在邊長為3的菱形ABCD中,O為對角線AC,BD的交點,E,F(xiàn)分別為線段AO,DO的中點,連接BE,CF并延長交于點M,BM,CM分別交AD于點G,H,如圖2所示,求MG2+MH2的值.
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【題目】甲、乙兩人都去同一家超市購買大米各兩次,甲每次購買50千克的大米,乙每次購買50元的大米,這兩人第一次購買大米時售價為每千克m元,第二次購買大米時售價為每千克n元(m≠n),若規(guī)定誰兩次購買大米的平均單價低,誰的購買方式就合算,則下列觀點正確的是( )
A. 甲的購買方式合算 B. 乙的購買方式合算
C. 甲、乙的購買方式同樣合算 D. 不能判斷誰的購買方式合算
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